【题解】洛谷P2149 [SDOI2009]Elaxia的路线(记忆化搜索 最短路)

题目里已经明示了这道题的目的：具体地说，就是要求无向图中，两对点间最短路的最长公共路径。那么我们首先得把两对点的每一个点到其他点的最短路求出来，可以通过spfa来解决。这里我开了一个二维数组dis[s][v]，s范围从1-4，分别代表出发点为x1,y1,x2,y2的四种情况，v则是其他点的编号。存下这个信息后，我们就需要找到最短路的公共部分。我们首先让Elaxia从宿舍(x1)出发，然后求在她到达实验室(y1)的途中w**从x2或y2出发时与这条路线的公共部分。这里我们思考后可以得到结论：判断一条边 u->v 是否在x1−>y1 的最短路上，就是判断 dis[1][u]+val(u,v)+dis[2][v]==dis[1][y1] （val(u,v) 为边u−>v 的长度）是否为真，如果为真，那么在最短路上，为假则不在最短路上。那么我们枚举每一个点与它所能到达的下一个结点。做以上的判断，构建新图即可，这里注意w**从宿舍或从实验室出发是必须要分开的，因为对于某个边你不能既并行又相遇，虽然数据里没有卡这个点，但这的确是个值得考虑到的问题（hack链接：https://www.luogu.org/discuss/show/21622?page=2）【洛谷某大佬对hack数据的解释：题目说是并行和相遇都算公共，但所求链显然不会又包括并行，又包含相遇，否则因为DAGw不可能同时有u->v和v->u边，它在DAGw上不是链了。（讨论里的第一组hack数据卡了这一点。）我们可以求一下只保留在两DAG中同向出现的边时的最长链，和只保留在两DAG中反向出现的边时的最长链。（第二组hack卡了“只保留”三个字）。】然后我们就得到了一个两人路线公共部分的图，接下来的最后一个任务就是求得新图从某个点出发所经历的最长路径。由于我并不知道拓扑排序是什么，所以我考虑了朴素的记忆化搜索来解决这个问题（其实好像和拓扑排序做法差不多……）。具体的话看代码也能看懂。反正最后我们得到了一个f数组，里面记录着新图里从每一个点出发所经历的最长路径，对这些路径寻找最大值输出即可。最后一个坑点，这个题它没给m的数据范围。所以我们得按照最坏的情况(1500*1500)来考虑，之前建边一直不够大……总是有RE和TLE的点，一气之下开了200w+，结果就AC了。。。。

code（已修正 不会被hack）：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<queue>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int maxn=1600;
const int maxm=2000010;
int n,m,x1,y1,x2,y2;
int dis[5][maxn];
int head[maxn],nnext[maxm*2],to[maxm*2],length[maxm*2],tot;
int head1[maxn],nnext1[maxm*2],to1[maxm*2],length1[maxm*2],tot1;
bool b[maxn];
bool b1[maxn];
int f[maxn];
inline int read()
{
	char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
	int ans=0;
	while(c>='0'&&c<='9')
	{
		ans=ans*10+c-'0'; 
		c=getchar();
	}
	return ans;
}
void add(int x,int y,int l)
{
	tot++;
	nnext[tot]=head[x];
	head[x]=tot;
	to[tot]=y;
	length[tot]=l;
}
void add1(int x,int y,int l)
{
	tot1++;
	nnext1[tot1]=head1[x];
	head1[x]=tot1;
	to1[tot1]=y;
	length1[tot1]=l;
}
void spfa(int s,int x)
{
	queue<int> q;
	memset(b,false,sizeof(b));
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		dis[s][i]=INF;
	}dis[s][x]=0;
	
	b[x]=true;
	q.push(x);
	while(!q.empty())
	{
		int now=q.front();
		q.pop();
		b[now]=false;
		for(int i=head[now];i;i=nnext[i])
		{
			int y=to[i];
			if(dis[s][y]>dis[s][now]+length[i])
			{
				dis[s][y]=dis[s][now]+length[i];
				if(!b[y])
				{
					b[y]=true;
					q.push(y);
				}
			}
		}
	}
}
int dfs(int x)
{
	if(b1[x]) return f[x];
	b1[x]=true;
	for(int i=head1[x];i;i=nnext1[i])
	{
		int y=to1[i];
		f[x]=max(f[x],dfs(y)+length1[i]);
	}
	return f[x];
}
int main()
{
	scanf("%d %d",&n,&m);
	scanf("%d %d %d %d",&x1,&y1,&x2,&y2);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int x,y,z;
		x=read(),y=read(),z=read();
		add(x,y,z);
		add(y,x,z);
	}
	spfa(1,x1);
	spfa(2,y1);
	spfa(3,x2);
	spfa(4,y2);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=head[i];j;j=nnext[j])
		{
			int y=to[j]; 
			if(dis[1][i]+length[j]+dis[2][y]==dis[1][y1])
			{
				if(dis[3][i]+length[j]+dis[4][y]==dis[3][y2])
				{
					add1(i,y,length[j]);
				}
			}
		}
	}
	int ans=-1e9;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		memset(b1,false,sizeof(b1));
		ans=max(ans,dfs(i));
	}
	memset(head1,0,sizeof(head1));
	memset(f,0,sizeof(f));
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=head[i];j;j=nnext[j])
		{
			int y=to[j]; 
			if(dis[1][i]+length[j]+dis[2][y]==dis[1][y1])
			{
				if(dis[3][y]+length[j]+dis[4][i]==dis[3][y2])
				{
					add1(i,y,length[j]);
				}
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		memset(b1,false,sizeof(b1));
		ans=max(ans,dfs(i));
	}
	printf("%d",ans);
	return 0;
}