洛谷 P5664 Emiya 家今天的饭【dp】

---

题目：

传送门

---

题意：

有一个$n\ast m$的矩阵，$(x,y)$表示由$x$方法和$y$食材做出的菜有多少种
我们可以选择一些菜来制作，但需要满足一些要求：
$1.$至少做一道菜
$2.$任意两种菜的方法不能相同
$3.$用同一食材做出的菜不能超过$n/2$道
问还有多少种方案

---

分析：

前两个要求都不是事，但问题在第三个要求，我们貌似直接求的话不好设置状态
正所谓正难则反，我们通过计算不合法的方案和总方案，就可以得到我们希望的答案了
不合法：
因为无论如何，都只会是一种食材不合法，不可能存在两种食材都做出了超过$n/2$的菜
所以我们可以把这一个食材拎出来，其他的食材无论如何分配都不会影响到合法性
设$f_{i,j}$表示已经考虑到第$i$种方法，而我们假定不合法这一食材与其他食材做出的菜的差为$j$，因为每种方法都至多有一道菜，所以转移挺好写的
最后不合法的方案我们就去$j>n/2$里面找
全部：
这多简单呐，莫得任何限制，设$g_{i,j}$表示考虑到第$i$种方法，选择了$j$种方法的方案数
对每种方案的菜品的数目求个和，都可以愉快计算
最后的答案是${\sum }_{i=1}^n{g}_{n,i}-{\sum }_{i=n/2+1}^n{f}_{n,i}$

---

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#define LL long long 
#define mo 998244353
using namespace std;
inline LL read()
{
	LL s=0,f=1; char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9') {s=s*10+c-'0';c=getchar();}
	return s*f;
}
LL a[105][2005],s[105][2005];
LL f[105][205],g[105][105];
int main()
{
	LL n=read(),m=read();
	for(LL i=1;i<=n;i++)
	{ 
	  LL sum=0;
	  for(LL j=1;j<=m;j++) (sum+=a[i][j]=read())%=mo;
	  for(LL j=1;j<=m;j++) s[i][j]=(sum-a[i][j]+mo)%mo;
	  s[i][0]=sum; g[i][0]=1;
	}
	LL r=0;
	for(LL e=1;e<=m;e++)
	{
		memset(f,0,sizeof(f));
		f[0][n]=1;
		for(LL i=1;i<=n;i++)
		  for(LL j=n-i;j<=n+i;j++)
		    f[i][j]=(f[i-1][j]+a[i][e]*f[i-1][j-1]%mo+s[i][e]*f[i-1][j+1]%mo)%mo;
		for(LL i=n+1;i<=2*n;i++) (r+=f[n][i])%=mo;
	}
	g[0][0]=1;
	for(LL i=1;i<=n;i++)
	  for(LL j=1;j<=i;j++)
	    g[i][j]=(g[i-1][j]+g[i-1][j-1]*s[i][0]%mo)%mo;
	LL sum=0;
	for(LL i=1;i<=n;i++) (sum+=g[n][i])%=mo;
	cout<<(sum-r+mo)%mo;
	return 0;
}