杨表与钩子公式

搬运 2019 袁方舟论文

我们先来简单认识一下杨表：
一个标准杨表是说，每一行严格上升，每一列严格上升
设杨表 $\lambda =({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_m)$ 表示有 $m$ 行，
每行有 ${\lambda }_i$ 个数，并且 ${\lambda }_1\ge {\lambda }_2\ge \cdots \ge {\lambda }_m$
杨表的边角说的是 {(i,j)}\{(i,j)\}{(i,j)}，使得 $(i+1,j),(i,j+1)$ 都是空的
$f_{\lambda }$ 表示的是往形状为 $\lambda$ 的杨表中填数的方案数

• 杨表的插入：设插入 $x$，从第一行开始，找到 $>x$ 的最小的，设为 $y$，若不存在，就把 $x$ 放到最后，否则令 $x=y$ 然后继续插入，容易证明插入后还是杨表
• 杨表的删除：删除一个边角位，若在第一行，则直接删除，否则在上一行找到一个小于它的最大的，然后重复这个过程，杨表删除后任然是杨表
  
• 杨表，排列，双射：
  将一个排列插入杨表 $P$，并且整一个记录表 $Q$，设第 $i$ 次将 $p_i$ 插入时多出来的位置为 $(x,y)$，那么我们在 $Q_{x,y}$ 上写一个 $i$，这样 $P,Q$ 的形状相同且 $Q$ 也为一个杨表
  
  现在一个排列可以对应一对形状相同的杨表
  接着我们考虑操作，找到 $Q$ 的最大值 $m$ 的位置 $(x,y)$，在 $P$ 中删除这个位置，删除的数为 $p_m$
  也就是说，一对杨表可以对应唯一一个排列，于是我们知道：
  $$\sum _{\lambda }{f}_{\lambda }^2=n!$$
• 钩子公式
  我们希望对一个 $\lambda$，求出它的填数方式 $f_{\lambda }$
  有公式：$$f_{\lambda }=\frac{n!}{\prod h_{\lambda }(i,j)}$$
  其中 $h(i,j)$ 表示在杨表中 $(i,b\ge j)$ 或 $(a\ge i,j)$ 的点的个数
  我们尝试归纳证明，首先 $n=1$ 是成立的，我们只需要证明：（枚举当前表上一步的表是啥）
  $$\frac{n!}{\prod h_{\lambda }(i,j)}=\sum _{\mu \to \lambda }\frac{(n-1)!}{\prod h_{\mu }(i,j)},\sum _{\mu \to \lambda }\frac{\prod h_{\lambda }(i,j)}{\prod h_{\mu }(i,j)}=n$$
  我们考虑需要重新计算的点，首先是只有插入点那行那列的点
  接着注意到一些点是可以约去的：
  
  比如说这个图中，绿色的 $\prod h_{\lambda }(i,j)$ 等于蓝色的 $\prod h_{\mu }(i,j)$（红色的是需要重新计算的点）
  
  即算上 $\frac{{\prod }_{(i,j)\in Blue}{h}_{\lambda }(i,j)}{{\prod }_{(i,j)\in Green}{h}_{\mu }(i,j)}$，红色的为边角位
  我们定义 $ct(i,j)=i-j$，$A(i,j)$ 为 $(i,j)$ 一直往下的点，$B(i,j)$ 为 $(i,j)$ 一直往右的点
  那么 $h(i,j)=ct(A(i,j))-ct(B(i,j))+1$
  我们设边角位的坐标为 $(a_i,b_i)$，然后将需要用到的点画出来，对一些特殊的点进行编号
  
  其中 $x_i=(a_i,b_i),y_i=(a_i,b_{i+1})$
  那么只需计算 $h_{\lambda }(a_j+1,b_i),0\le j<i$（设插入的点是 $x_i$），这个等于 $(x_i-y_j)$
  以及 $h_{\mu }(a_j,b_i),1\le j<i$，这个等于 $(x_i-x_j)$
  后面的还有 $h_{\lambda }(a_i,b_j+1)$，这个等于 $(y_j-x_i)$，以及 $h_{\mu }(a_i,b_j)=(x_j-x_i)$
  所以 （不枚举 $\mu$，枚举插入的是哪一行的）
  $$\sum _{\mu \to \lambda }\frac{\prod h_{\lambda }(i,j)}{\prod h_{\mu }(i,j)}=-\sum _{i=1}^m\frac{{\prod }_{j=0}^m(x_i-y_j)}{{\prod }_{j=1,j\ne i}^m(x_i-x_j)}$$
  接着（$\sum x_i={\sum }_{i=1}^m{a}_i-b_i={\sum }_{i=0}^m{a}_i-{\sum }_{i=1}^{m+1}{b}_i=\sum y_i$）
  
  
  这个算的就是杨表的大小
• 可以用来做 $LIS$ 计数，枚举 $\lambda$ 的划分就可以做到 $n^{2}p(n)$
• 钩子公式的另一个形式：
  $$f_{\lambda }=\frac{n!}{\prod h_{\lambda }(i,j)}=n!\frac{{\prod }_{i<j}({\lambda }_i-{\lambda }_j+j-i)}{({\lambda }_i+m-i)!}$$
  考虑一行的 $h(i,j)$ 可以去到 $[1,({\lambda }_i+m-i)]$，将不合法的去掉即可