Topcoder SRM 648 Div1 850 ：Fragile（DP）

最新推荐文章于 2019-03-13 23:02:00 发布

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分类专栏： DP及DP优化

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本文介绍了一种通过动态规划计算特定图结构数量的方法，重点在于处理含有桥的图，并通过递归解决子问题。文章提供了详细的算法实现步骤及代码示例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

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题解：
首先预处理 $n$ 个点的连通图个数，这是个经典DP，自行百度。。

然后我们考虑一个含有桥的图，我们枚举这个桥，然后桥的两边是个子问题递归下去做即可。注意含有 $k$ 个桥的图会被计算 $k$ 次，最后除以k。

注意不含桥的图可以用连通的减去含桥的图。然后就可以DP了。时间复杂度 $O(n^4 \log n )$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=55,K=N,mod=1e9+7;
class Fragile {
    private:
    int n,k,f[N][K],g[N],h[N],fac[N],ifac[N],tp[N][K],dp[N][K],pw[N];
    #define P(x) ((x)*((x)-1)/2)
    inline int add(int x,int y) {return (x+y>=mod) ? (x+y-mod) : (x+y);}
    inline int dec(int x,int y) {return (x-y<0) ? (x-y+mod) : (x-y);}
    inline int mul(int x,int y) {return (unsigned long long)x*y%mod;}
    inline int power(int a,int b,int rs=1) {for(;b;b>>=1,a=mul(a,a)) if(b&1) rs=mul(rs,a); return rs;}
    inline int C(int a,int b) {return mul(fac[a],mul(ifac[b],ifac[a-b]));}
    inline void init() {
        fac[0]=1; for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=mul(fac[i-1],i);
        ifac[n]=power(fac[n],mod-2); for(int i=n-1;~i;i--) ifac[i]=mul(ifac[i+1],i+1);
    }
    inline void solveg() {
        g[0]=1;
        for(int i=1;i<=n;i++) {
            for(int j=1;j<i;j++) 
                g[i]=add(g[i],mul(mul(C(i-1,j-1),h[j]),power(2,P(i-j))));
            h[i]=dec(power(2,P(i)),g[i]);
        }
    }
    inline void solvef() {
        f[0][0]=1;
        for(int i=1;i<=n;i++) {
            int s=0;
            for(int j=1;j<i;j++) {
                int rs=0;
                for(int u=1;u<i;u++) 
                    for(int t=0;t<j;t++)
                        rs=add(rs,mul(C(i-2,u-1),mul(f[u][t],f[i-u][j-t-1])));
                f[i][j]=mul(rs,mul(C(i,2),power(j,mod-2)));
                s=add(s,f[i][j]);
            }
            f[i][0]=dec(h[i],s);
        }
    }
    inline void trans(int u,int v,int t) {
        pw[0]=1; for(int i=1;i<=n;i++) pw[i]=mul(pw[i-1],mul(ifac[u],t));
        for(int i=1;i<=n;i++) pw[i]=mul(pw[i],ifac[i]);
        for(int i=0;i<=n;i++)
            for(int j=0;j<=i;j++)
                tp[i][j]=dp[i][j], dp[i][j]=0;
        for(int i=0;i<=n;i++)
            for(int j=0;j<i || !j;j++)
                for(int o=0;o*u<=i && o*v<=j;++o)
                    dp[i][j]=add(dp[i][j],mul(tp[i-o*u][j-o*v],pw[o]));
    }
    public:
    inline int countGraphs(int nn,int kk) {
        n=nn; k=kk;
        init();
        solveg();
        solvef();
        dp[0][0]=1;
        for(int i=1;i<=n;i++) 
            for(int j=0;j<i;j++) if(f[i][j])
                trans(i,j,f[i][j]);
        return mul(dp[n][k],fac[n]);
    }
};