HDU2481：Toy（Burnside）

传送门

题意：
外面有一圈N个结点，中心有一个结点与N个结点都相连，总共就是2*N条边，删除N条边，使N+1个点连通，旋转相同视为等价，问有多少种情况。

题解：
Burnside引理。

首先枚举公约数，找等价类。
对于一个等价类，矩阵树+打表发现$f(n)=3*f(n-1)-f(n-2)+2$,直接矩阵快速幂。

要注意的是mod一个合数可能不存在逆元，稍加转化：

$$a=(k*c+r)*b\\\frac{a}{b} \mod c=r \\\Rightarrow \frac{a \mod bc}{b}=r$$

再$O(1)$快速乘就好了：http://blog.youkuaiyun.com/qq_35649707/article/details/76732760

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
struct IO{
    streambuf *ib,*ob;
    inline void init(){
        ios::sync_with_stdio(false);
        cin.tie(NULL);cout.tie(NULL);
        ib=cin.rdbuf();ob=cout.rdbuf();
    }
    template<typename T1>
    inline bool read(T1 &x){
        static char ch;static long long i,f;
        ch=ib->sbumpc();i=0,f=1;
        while(!isdigit(ch)){
            if(ch==-1)return false;
            if(ch=='-')f=-1;
            ch=ib->sbumpc();
        }
        while(isdigit(ch)){
            i=(i+(i<<2)<<1)+ch-'0';
            ch=ib->sbumpc();
        }
        x=((f>0)?i:-i);
        return true;
    }
    inline void W(long long x){
        static long long buf[50];
        if(!x){ob->sputc('0');return;}
        if(x<0){ob->sputc('-');x=-x;}
        while(x){buf[++buf[0]]=x%10;x/=10;}
        while(buf[0]){ob->sputc(buf[buf[0]--]+'0');}
    }
}io;
long long n;
long long mod;
long long ans;
inline long long mul(long long x,long long y)
{
    return (x*y-(long long)((long double)x/mod*y)*mod+mod)%mod;  
}
struct matrix{
    long long a[4][4];
    inline void init(long long val){
        for(long long i=1;i<=3;i++)
            for(long long j=1;j<=3;j++)
            this->a[i][j]=0;
        for(long long i=1;i<=3;i++)this->a[i][i]=val;
    }
    friend inline matrix operator *(const matrix &a,const matrix &b)
    {
        matrix c;c.init(0);
        for(long long i=1;i<=3;i++)
            for(long long j=1;j<=3;j++)
                for(long long k=1;k<=3;k++)
                    (c.a[i][j]+=mul(a.a[i][k],b.a[k][j]))%=mod;
        return c;
    }
    friend inline matrix operator ^(matrix a,long long b)
    {
        matrix c;c.init(1);
        for(;b;b>>=1,a=a*a)
        if(b&1)c=c*a;
        return c;
    }
}e;
inline long long getphi(long long x){
    long long res=x;
    for(long long b=2;b*b<=x;b++)
    {
        if(x%b)continue;
        (res/=b)*=(b-1);
        while(!(x%b))x/=b;
    }
    if(x!=1)(res/=x)*=(x-1);
    return res;
}
inline long long calc(long long k){
    if(k<3){return ((k==1)?1:5);}
    matrix a;a.init(0);
    a.a[1][1]=5,a.a[1][2]=1,a.a[1][3]=2;
    a=a*(e^(k-2));
    return a.a[1][1];
}
int main(){
    io.init();e.init(0);
    e.a[1][1]=3;e.a[1][2]=1;e.a[3][1]=1;e.a[3][3]=1;
    while(io.read(n),io.read(mod)){
        ans=0;mod*=n;
        e.a[2][1]=mod-1;
        for(long long d=1;d*d<=n;d++){
            if(n%d)continue;
            (ans+=(1ll*mul(getphi(n/d),calc(d))%mod))%=mod;
            if(n/d!=d)(ans+=(1ll*mul(getphi(d),calc(n/d))%mod))%=mod;
        }
        io.W(ans/n);io.ob->sputc('\n');
    }
}