使用 Manim 绘制自定义函数曲线

你是否曾经想过，让复杂的函数曲线在屏幕上以动画形式优雅地呈现？或者希望通过编程，自定义并控制数学图形的每一个细节，使其生动地表达抽象的概念？

本文将带你探索如何使用 Manim( https://www.manim.community/) 实现这一切。

一、Manim 简介

Manim(Mathematical Animation Engine)是一个功能强大的 Python 库，用于创建专业级的数学动画。

由知名数学视频博主 3Blue1Brown(Grant Sanderson)开发，Manim 能够以编程方式生成精美的动画效果，从函数曲线到几何图形，再到复杂的动画演示，皆可轻松实现。

• Manim 官方文档： https://docs.manim.community/
• Manim 教程： https://docs.manim.community/en/stable/tutorials/quickstart.html
• 3Blue1Brown YouTube 频道： https://www.youtube.com/c/3blue1brown

二、Axes 类概述

绘制自定义函数曲线会到Axes类，它是 Manim 中用于创建二维坐标轴的对象。继承自 CoordinateSystem，并提供了丰富的方法来定制坐标轴的外观和功能。

Axes 类的主要功能包括：

• 创建自定义范围和刻度的坐标轴
• 绘制函数曲线和参数方程
• 添加坐标网格和刻度线
• 在坐标轴上添加标签和注释

三、创建坐标轴

要创建一个坐标轴，首先需要实例化 Axes 类。以下是基本的使用方法

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axes = Axes()

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效果：

坐标范围和刻度设置

x_range：设置 x 轴的范围和刻度。

格式：x_range=[x_min, x_max, x_step] 例如：x_range=[-5, 5, 1] 表示 x 轴从 -5 到 5，刻度间隔为 1。

y_range：设置 y 轴的范围和刻度。

格式与 x_range 相同。

示例：

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axes = Axes(
    x_range=[0, 6, 1],
    y_range=[-4, 4, 1],
)

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轴标签和刻度数字

axis_config：用于定制轴的样式，一个字典，设置轴的通用配置。常用的配置项：

• include_numbers：是否在刻度上显示数字(默认为 False)。
• numbers_to_include：指定要显示数字的列表。
• numbers_with_elongated_ticks：指定要加长刻度线的数字列表。

示例：在刻度上显示数字

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axes = Axes(
    x_range=[-6, 6, 1],
    y_range=[-4, 4, 1],
    axis_config={"include_numbers": True},
)

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更高级的配置

如果需要更精细地控制轴的配置，可以使用 x_axis_config 和 y_axis_config。

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axes = Axes(
    x_range=[-6, 6, 1],
    y_range=[-4, 4, 1],
    x_axis_config={
        "include_numbers": True,
        "numbers_to_include": [-5, 0, 5],
        "numbers_with_elongated_ticks": [-5, 0, 5],
    },
    y_axis_config={
        "include_numbers": True,
        "numbers_to_include": [-3, 0, 3],
        "numbers_with_elongated_ticks": [-3, 0, 3],
    },
)

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其中的配置项：

• include_numbers：是否在刻度上显示数字(默认为 False)。
• numbers_to_include：指定要显示数字的列表。
• numbers_with_elongated_ticks：指定要加长刻度线的数字列表。

轴样式定制

可以通过 axis_config 或 x_axis_config、y_axis_config 来定制轴的样式。

• stroke_color：轴的颜色。
• stroke_width：轴的线宽。
• include_ticks：是否显示刻度线。
• tick_size：刻度线的长度。
• include_tip：是否在轴的末端显示箭头。
• tip_length：箭头的长度。

示例：定制轴的颜色和箭头

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axes = Axes(
    x_range=[-6, 6, 1],
    y_range=[-4, 4, 1],
    x_axis_config={
        "stroke_color": RED,
        "include_tip": True,
        "tip_length": 0.2,
    },
    y_axis_config={
        "stroke_color": GREEN,
        "include_tip": True,
        "tip_length": 0.2,
    },
)

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四、在坐标轴上绘制函数

使用 plot 方法绘制函数曲线

Axes 提供了 plot 方法，用于在坐标轴上绘制函数曲线。

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curve = axes.plot(lambda x: x**2, color=BLUE)

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• lambda x: x**2：要绘制的函数，可以是任何可计算的 Python 函数。
• color：曲线的颜色。

自定义函数的绘制

您可以绘制任何自定义函数，例如三角函数、指数函数等。

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curve = axes.plot(lambda x: np.sin(x), color=YELLOW)

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示例：绘制自定义函数

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def custom_function(x):
    return np.exp(-x**2)

curve = axes.plot(custom_function, color=PURPLE)

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曲线样式定制

可以通过以下参数定制曲线的样式：

x_range：指定函数曲线的 x 范围，格式为 [x_min, x_max]。use_smoothing：是否对曲线进行平滑处理(默认 True)。stroke_width：曲线的线宽。

示例：定制曲线范围和线宽

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curve = axes.plot(
    lambda x: np.log(x),
    x_range=[0.1, 5],
    color=ORANGE,
    stroke_width=4,
)

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五、添加图形元素

添加函数标签

为了在曲线上添加标签，可以使用 get_graph_label 方法。

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label = axes.get_graph_label(
    curve,
    label="y = x^2",
    x_val=2,
    direction=UP,
)

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curve：要添加标签的曲线对象。label：标签内容，可以是字符串或 MathTex 对象。x_val：标签在曲线上对应的 x 值位置。direction：标签相对于曲线的方向。buff：标签与曲线之间的距离。

添加点、线和注释

添加点：

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dot = Dot(axes.c2p(2, 4), color=RED)

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axes.c2p(x, y)：将数据坐标转换为场景坐标。

添加垂直线：

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v_line = axes.get_vertical_line(axes.c2p(2, 4), color=GREEN)

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添加水平线：

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h_line = axes.get_horizontal_line(axes.c2p(2, 4), color=GREEN)

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添加注释文本：

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text = Text("关键点", font_size=24).next_to(dot, RIGHT)

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六、示例：

上述功能完整示例

下面是一个完整的示例，演示如何使用 Axes 绘制自定义函数曲线，并添加各种元素。

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from manim import *

class CustomFunctionPlot(Scene):
    def construct(self):
        # 创建坐标轴
        axes = Axes(
            x_range=[-5, 5, 1],
            y_range=[-1, 1, 0.2],
            x_length=10,
            y_length=6,
            axis_config={
                "include_numbers": True,
                "include_tip": True,
                "tip_length": 0.2,
            },
        )

        # 绘制函数曲线
        func = lambda x: np.sin(x)
        curve = axes.plot(func, color=BLUE)

        # 添加函数标签
        label = axes.get_graph_label(
            curve,
            label="y = \\sin(x)",
            x_val=2,
            direction=UR,
            buff=0.5,
        )

        # 添加垂直线和点
        x_val = PI / 2
        y_val = func(x_val)
        dot = Dot(axes.c2p(x_val, y_val), color=RED)
        v_line = axes.get_vertical_line(axes.c2p(x_val, y_val), color=YELLOW)

        # 添加注释
        text = MathTex("x = \\frac{\\pi}{2}").next_to(dot, DR)

        # 创建动画
        self.play(Create(axes))
        self.play(Create(curve), Write(label))
        self.play(Create(v_line), FadeIn(dot), Write(text))
        self.wait(2)

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运行效果

• 坐标轴：从 -5 到 5 的 x 轴和从 -1 到 1 的 y 轴，带有数字和箭头。
• 函数曲线：绘制了正弦函数 y = sin(x) 的曲线，颜色为蓝色。
• 函数标签：在 x=2 的位置，曲线的右上方添加了函数的数学表达式标签。
• 垂直线和点：在 x = π/2 处添加了一个红色的点和一条黄色的垂直线。
• 注释：在点的右下方添加了注释 x = π/2。

示例： Sigmoid函数

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%%manim -qm SigmoidFunctionPlot

class SigmoidFunctionPlot(Scene):
    def construct(self):
        axes = Axes(
            x_range=[-7, 7, 1],
            y_range=[0, 1, 0.1],
            x_length=16,
            y_length=6,
            tips=False,
            axis_config={"include_numbers": True},
        )
        sigmoid_graph = axes.plot(
            lambda x: 1 / (1 + np.exp(-x)),
            color=BLUE,
        )
        sigmoid_label = axes.get_graph_label(
            sigmoid_graph, label="\\sigma(x) = \\frac{1}{1 + e^{-x}}", x_val=4, direction=DOWN,buff=0.5
        )
        self.play(Create(axes))
        self.play(Create(sigmoid_graph), Write(sigmoid_label))
        self.wait(2)

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效果

七、总结

使用 Manim 的 Axes 类来绘制自定义函数曲线关键点：

1. 创建坐标轴：使用 Axes 类，并设置 x_range 和 y_range 等参数。
2. 定制坐标轴：通过 axis_config、x_axis_config 和 y_axis_config 定制轴的外观和功能。
3. 绘制函数曲线：使用 plot 方法，将自定义函数绘制在坐标轴上。
4. 添加图形元素：利用 get_graph_label、Dot、get_vertical_line 等方法添加标签、点和线。
5. 动画效果：使用 Create、Write、FadeIn 等方法为元素添加动画。