数论——整除

qwq

数论——欧拉函数

我终于开始学数论了啊
以下全为一个蒟蒻的口胡

正文

• 设$a,b$为非零整数，若存在$a\ast q=b$，那么就说$b$可被$a$整除，记作$a\mid b$
• 如果$a\mid b$且$b\mid c$那么，$a\mid c$
• $a\mid b$且$a\mid c$等价于对于任意整数$x,y$有$a\mid (b\ast x+c\ast y)$
• 设$m≠0$，那么$a\mid b$等价于$(m\ast a)\mid (m\ast b)$
• 设整数$x,y$满足$a\ast x+b\ast y=1$，且$a\mid n,b\mid n$那么$(a\ast b)\mid n$
  证明：
  $$\because a\mid n,b\mid n$$
  $$\therefore (a\ast b)\mid (n\ast b),(a\ast b)\mid (n\ast a)$$
  $$\therefore (a\ast b)\mid (x\ast n\ast a+y\ast n\ast b)$$
  $$\because a\ast n\ast x+b\ast n\ast y=n\ast (a\ast x+b\ast y)=n$$
  $$\therefore (a\ast b)\mid n$$
• 若$b=q\ast d+c$，那么$d\mid b$的充要条件是$d\mid c$
• $\forall a,b\in \mathbb{N},\gcd (a,b)\ast lcm(a,b)=a\ast b$（$lcm(a,b)$为$a,b$的最小公倍数）
  证明：
  令$$d=\gcd (a,b)$$
  $$a_0=a/d,b_0=b/d$$
  则有$$gcd(a_0,b_0)=1$$
  $$lcm(a_0,b_0)=a_0\ast b_0$$
  $$lcm(a_0\ast d,b_0\ast d)=a_0\ast b_0\ast d$$
  $$lcm(a,b)=a\ast b/gcd(a,b)$$
  $$lcm(a,b)\ast gcd(a,b)=a\ast b$$
• 九章算术（更相减损术）
  $\forall a,b\in \mathbb{N},a\ge b$，有$\gcd (a,b)=\gcd (b,a-b)=\gcd (a,a-b)$
  $\forall a,b\in \mathbb{N}$，有$\gcd (2a,2b)=2\gcd (a,b)$
  $\gcd (a_1,a_2,\cdots ,a_n)=\gcd (a_1,a_2-a_1,\cdots ,a_n-a_{n-1})$
• 欧几里得算法
  $$\forall a,b\in \mathbb{N},b≠0,\gcd (a,b)=\gcd (b,a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)$$

inline int gcd(int a, int b} { return b ? gcd(b, a % b) : a; }

复杂度大致为$O(log(a+b))$