Day 1：数论——[整除性及组合数学篇]

Day 1：数论——[整除性及组合数学篇]

注：

1.我们用 $\mathbb{Z}$ 表示整数，$\forall$ 表示任意，$\in$ 表示属于，$\exists$ 表示存在。

2.似乎 $\mid$ 的运算优先级特别低，所以注意打括号。

一、整除

1.定义

​ 若有 $\mathbb{Z}$ $a,b$ ，$a\ne 0$ ，如果 $\exists$ 一个 $\mathbb{Z}$ $q$ ，使得 $a\cdot q=b$ ，则 $b$ 能被 $a$ 整除（ $b$ 为 $a$ 的倍数），记作 $a\mid b$，否则记为 $a\nmid b$ 。

2.性质

$①$ 传递性：如果 $a\mid b$ 且 $b\mid c$ ，则 $a\mid c$ 。

证明：$\because$ $a\mid b$ $\therefore$ 令 $a\cdot x=b$ （$x\in \mathbb{Z}$ 且 $x\ne 0$ ）

​ 又$\because$ $b\mid c$ $\therefore$ 令 $b\cdot y=c$ （$y\in \mathbb{Z}$ 且 $y\ne 0$ ）

​ $\therefore$ $a\cdot x\cdot y=c$

​ 又$\because$ $x,y\in \mathbb{Z}$

​ $\therefore$ $a\mid c$

$②$ 如果 $a\mid b$ 且 $b\mid c$ ，若有 $\forall$ 的 $\mathbb{Z}$ $x,y$ ，有 $a\mid (b\cdot x+c\cdot y)$。

证明：$\because$ $a\mid b$ $\therefore$ 令 $a\cdot s=b$ （$s\in \mathbb{Z}$ 且 $s\ne 0$ ）

​ 又$\because$ $b\mid c$ $\therefore$ 令 $b\cdot t=c$ （$t\in \mathbb{Z}$ 且 $t\ne 0$ ）

​ 有 $b\cdot x+c\cdot y=a\cdot s\cdot x+a\cdot t\cdot y$

​ $\therefore$ $a\mid [a\cdot (s\cdot x+t\cdot y)]$ $\therefore$ $a\mid (b\cdot x+c\cdot y)$

$③$ 若 $m\ne 0$，则 $a\mid b$ 等价于 $(m\cdot a)\mid (m\cdot b)$

证明：$\because$ $a\mid b$ $\therefore$ 令$a\cdot x=b$ ($x\in \mathbb{Z},x\ne 0$)

​ $\therefore$ $a\cdot x\cdot m=b\cdot m$ ($m\in \mathbb{Z},m\ne 0$)

​ $\therefore$ $x\cdot a\cdot m=b\cdot m$ ($a\cdot m$的 $x$ 倍为 $b\cdot m$)

​ $\therefore$ $(a\cdot m)\mid (b\cdot m)$

$④$ 设 $\mathbb{Z}$ $x,y$ 满足下式：$a\cdot x+b\cdot y=1$，且 $a\mid n$ 、 $b\mid n$，那么 $a\cdot b\mid n$。

证明：$\because$ $a\mid n$ 、 $b\mid n$

​ $n=s\cdot a=t\cdot b$ ($s,t\in \mathbb{Z}且a、b、s、t\ne 0$)

​ 又$\because$ $a\cdot x+b\cdot y=1$

​ $\therefore$ $\frac{x}{b}+\frac{y}{a}=\frac{1}{a\cdot b}$

​ $\therefore$ $\frac{n}{a\cdot b}=n\cdot (\frac{x}{b}+\frac{y}{a})=\frac{n\cdot x}{b}+\frac{n\cdot y}{a}$

​ 又$\because$ $x、y、s、t\ne 0$

​ $\therefore$ $\frac{n}{a\cdot b}\in \mathbb{Z}$ $\therefore$ $a\cdot b\mid n$

$⑤$ 若 $b=q\cdot d+c(q\in \mathbb{Z})$ ，那么 $d\mid b$ 的充要条件（充分必要条件）是 $d\mid c$。

相当于证明：已知

第一组证明：$\because$ $d\mid c$

​ $\therefore$ $d\cdot c\equiv c(x\in \mathbb{Z},x\ne 0)$

​ $\therefore$ $b=q\cdot d+x\cdot d=(q+x)\cdot d$

​ $\therefore$ $d\mid b$

第二组证明：$\because$ $d\mid b$

​ $\therefore$ $d\cdot y=b(y\in \mathbb{Z},y\ne 0)$

​ $\therefore$ $d\cdot y=q\cdot d+c$， $c=d\cdot (y-d)$

​ $\because$ $(y-d)\in \mathbb{Z}$

​ $\therefore$ $d\mid c$

二、模运算

1.定义

​ 对于 $\mathbb{Z}$ $a,b$ ，其中 $b\ne 0$，求 $a$ 除以 $b$ 的余数，称为 $a$ 模 $b$ ，记作 $a$ $mod$ $b$ 或 $a\%b$ (似乎数学不能用 $\%$ )

2.分配律

$①$ $(a\pm b)\%c=(a\%c\pm b\%c)\%c$

证明：令 $r_1=a\%c,r_2=b\%c$

​ $\therefore$ $a=q_1\cdot c+r_1,b=q_2\cdot c+r_2$

​ $\therefore$ $(q_1\cdot c\pm q_2\cdot c+r_1\pm r_2)\%c=(r_1\pm r_2)\%c=(a\%c+b\%c)\%c$

$②$ $(a\cdot b)\%c=(a\%c\cdot b\%c)\%c$

证明：令$a\%c=m_a,b\%c=m_b,\frac{a}{c}=s_a,\frac{b}{c}=s_b(m_a,m_b,s_a$