Problem Problem 设奇数n>1n>1,证明:nn是素数的充分必要条件是不能表为三个或三个以上的连续正整数之和。
解:
必要性:
设自然数前缀和S(a)=a(a+1)2,S(b)=b(b+1)2S(a)=a(a+1)2,S(b)=b(b+1)2.
则n≠S(a)−S(b)=(a+b+1)(a−b)2,a−b>1,b⩾0n≠S(a)−S(b)=(a+b+1)(a−b)2,a−b>1,b⩾0。
于是设k=a−b,n≠k(2b+1+k)2k=a−b,n≠k(2b+1+k)2
若奇数nn是合数,则是奇数.
令k=v⩾3k=v⩾3则能否有bb使得?答案是有的
令b=u−v+12>u−v⩾0b=u−v+12>u−v⩾0,并且它右式总是整数。
充分性:
显然S(a)−S(b)S(a)−S(b)是合数,所以充分性得证。
Problem Problem 设n⩾3n⩾3.证明存在n!−1n!−1的素因子>n>n。
证明:
设素数p⩽n,p|n!−1p⩽n,p|n!−1,又p|n!p|n!,于是n!−1=rp,n!=sp,(s−r)p=1n!−1=rp,n!=sp,(s−r)p=1,所以p|1p|1,但这是不可能的。
Problem Problem 设整系数多项式P(x)=∑k=0nakxk,degP>1P(x)=∑k=0nakxk,degP>1,求有无数多个整数值xx使得是合数。
解:
P0(x)=ax+1P0(x)=ax+1时,显然成立.
使得pi∈{k|ak≠0}使得pi∈{k|ak≠0}.
令x=ap0x′,P1(x)=(ap1x′+1)ap0,则P0(x)|P1(x)令x=ap0x′,P1(x)=(ap1x′+1)ap0,则P0(x)|P1(x);
令x=ap0x′,P2(x)=ap0P1(x)令x=ap0x′,P2(x)=ap0P1(x),则P0(x)|P1(x)|P2(x)P0(x)|P1(x)|P2(x).
于是对于degP=k∈N+degP=k∈N+,命题成立。
Problem Problem 假若素数只有有限个p1,p2,...psp1,p2,...ps,证明:
∀N>0,∑n=1N1n<∏k=1s(1−1pk)−1∀N>0,∑n=1N1n<∏k=1s(1−1pk)−1,由此推出素数有无数多个。
证明:
首先任意正整数必然能够由p1,p2,...psp1,p2,...ps表出,于是
∑n=1N1n<∏k=1s∑n=0∞1pnk=limn→∞∏k=1s1−p−nk1−p−1k=∏k=1s(1−1pk)−1∑n=1N1n<∏k=1s∑n=0∞1pkn=limn→∞∏k=1s1−pk−n1−pk−1=∏k=1s(1−1pk)−1
但是∑n=1∞1n∑n=1∞1n不收敛,与其部分和有上界矛盾,所以素数一定有无限多个。