数论 整除理论(1)

本文探讨了素数的性质及其与多项式之间的联系,包括证明奇数为素数的充分必要条件、存在大于n的n!-1的素因子、多项式取合数值的无限性以及素数无限性的经典证明。

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Problem Problem 设奇数n>1n>1,证明:nn是素数的充分必要条件是n不能表为三个或三个以上的连续正整数之和。
解:
必要性:
设自然数前缀和S(a)=a(a+1)2,S(b)=b(b+1)2S(a)=a(a+1)2,S(b)=b(b+1)2.
nS(a)S(b)=(a+b+1)(ab)2,ab>1,b0n≠S(a)−S(b)=(a+b+1)(a−b)2,a−b>1,b⩾0
于是设k=ab,nk(2b+1+k)2k=a−b,n≠k(2b+1+k)2
若奇数nn是合数,则n=uv,uv3,v是奇数.
k=v3k=v⩾3则能否有bb使得2b+1+k=2u?答案是有的
b=uv+12>uv0b=u−v+12>u−v⩾0,并且它右式总是整数。
充分性:
显然S(a)S(b)S(a)−S(b)是合数,所以充分性得证。

Problem Problem n3n⩾3.证明存在n!1n!−1的素因子>n>n
证明:
设素数pn,p|n!1p⩽n,p|n!−1,又p|n!p|n!,于是n!1=rp,n!=sp,(sr)p=1n!−1=rp,n!=sp,(s−r)p=1,所以p|1p|1,但这是不可能的。

Problem Problem 设整系数多项式P(x)=k=0nakxk,degP>1P(x)=∑k=0nakxk,deg⁡P>1,求有无数多个整数值xx使得P是合数。
解:
P0(x)=ax+1P0(x)=ax+1时,显然成立.
使pi{k|ak0}使得pi∈{k|ak≠0}.
x=ap0x,P1(x)=(ap1x+1)ap0,P0(x)|P1(x)令x=ap0x′,P1(x)=(ap1x′+1)ap0,则P0(x)|P1(x)
x=ap0x,P2(x)=ap0P1(x)令x=ap0x′,P2(x)=ap0P1(x),则P0(x)|P1(x)|P2(x)P0(x)|P1(x)|P2(x).
于是对于degP=kN+deg⁡P=k∈N+,命题成立。

Problem Problem 假若素数只有有限个p1,p2,...psp1,p2,...ps,证明:
N>0,n=1N1n<k=1s(11pk)1∀N>0,∑n=1N1n<∏k=1s(1−1pk)−1,由此推出素数有无数多个。
证明:
首先任意正整数必然能够由p1,p2,...psp1,p2,...ps表出,于是
n=1N1n<k=1sn=01pnk=limnk=1s1pnk1p1k=k=1s(11pk)1∑n=1N1n<∏k=1s∑n=0∞1pkn=limn→∞∏k=1s1−pk−n1−pk−1=∏k=1s(1−1pk)−1
但是n=11n∑n=1∞1n不收敛,与其部分和有上界矛盾,所以素数一定有无限多个。

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