【组合计数】【DP】AGC001 BBQ Hard

最新推荐文章于 2022-03-20 14:39:50 发布

616156

最新推荐文章于 2022-03-20 14:39:50 发布

阅读量292

点赞数

CC 4.0 BY-SA版权

分类专栏： DP 数学

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_34454069/article/details/81152949

DP 同时被 2 个专栏收录

100 篇文章

订阅专栏

数学

27 篇文章

订阅专栏

这篇博客分析了一道名为AGC001 BBQ的难题，通过几何意义探讨了一个表达式的最短路径数问题。利用动态规划（DP）方法定义dp[i][j]表示从左下角到达坐标(i, j)的最短路径数，并计算所有路径的总和，同时排除了非法的自我到达情况。解答中涉及到了组合计数和路径优化的概念。" 73500035,5661647,JDBC面试关键知识点总结,"['数据库', 'JDBC', 'SQL', '数据库连接', '事务管理']

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

分析：

首先，很容易得到一个简单的表达式：

\sum i, j (i \neq j) C A i + A j A i + A j + B i + B j

$\sum_{i,j(i≠j)}C_{A_i+A_j+B_i+B_j}^{A_i+A_j}$
然而会T。。。。

观察一下这个式子有什么几何意义：
$C_{A_i+A_j+B_i+B_j}^{A_i+A_j}$ 可以表示从点 $(-A_i,-B_i)$ 走到 $(A_j,B_j)$ 的最短路径数！！！

所以这道题就可以DP来做了；

定义 $dp[i][j]$ 表示从左下方走到 $(i,j)$ 的最短路径数。

然后记 $ask[i][j]$ 表示 $A_x=i,B_x=j$ 的方案数。

答案就是 $\sum_{0\leq i,j\leq 2000}ask_{i,j}*dp_{i,j}$

但是这时会将从自己 $(-A_i,-B_i)$ 走到自己 $(A_i,B_i)$ 的方案计算了，但这明显是不合法的

所以要减去这部分。即 $\sum_{1\leq i\leq n}C_{2*A_i+2*B_i}^{2*A_i}$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define SF scanf
#define PF printf
#define MAXN 100010
#define MAXM 4010
#define MOD 1000000007
using namespace std;
typedef long long ll;
int dp[MAXM][MAXM],ask[MAXM][MAXM];
ll fac[MAXM*2],inv[MAXM*2],del,ans;
ll fsp(ll x,int y){
    ll res=1;
    while(y){
        if(y&1)
            res=res*x%MOD;
        x=x*x%MOD;
        y>>=1;  
    }
    return res;
}
int n,u,v;
ll C(int n,int m){
    return fac[n]*inv[m]%MOD*inv[n-m]%MOD;  
}
int main(){
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<=8000;i++)
        fac[i]=fac[i-1]*i%MOD;
    inv[8000]=fsp(fac[8000],MOD-2);
    for(int i=8000;i>=1;i--)
        inv[i-1]=inv[i]*i%MOD;
    SF("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        SF("%d%d",&u,&v);
        del+=C(2*u+2*v,2*u);
        del%=MOD;
        dp[2000-u][2000-v]++;
        ask[2000+u][2000+v]++;
    }
    for(int i=0;i<=4000;i++)
        for(int j=0;j<=4000;j++){
            if(i!=0)
                dp[i][j]+=dp[i-1][j];
            if(j!=0)
                dp[i][j]+=dp[i][j-1];
            dp[i][j]%=MOD;
            ans=(ans+1ll*ask[i][j]*dp[i][j])%MOD;
        }
    ans=(ans-del+MOD)%MOD;
    PF("%lld",ans*fsp(2,MOD-2)%MOD);
}