【数学基础】第十五课：矩阵的相似变换和相合变换

1.相似矩阵

在线性代数中，相似矩阵（similar matrix）是指存在相似关系的矩阵。相似关系是两个矩阵之间的一种等价关系。两个$n\times n$矩阵A与B为相似矩阵当且仅当存在一个$n\times n$的可逆矩阵P，使得：

$$P^{-1}AP=B$$

P被称为矩阵A与B之间的相似变换矩阵。

例如：

$${\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& -1\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$$

$${\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ -2& 1\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{cc}8& -6\\ -6& 17\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ -2& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}20& 0\\ 0& 5\end{array}\right]$$

1.1.相似变换的几何意义

👉相似矩阵的几何意义就是同一个线性变换在不同的基下的表达形式（关于线性变换请见：线性变换，即$Q=P$且均为方阵的情况）。

举个例子，线性变换$T:V\to V$，在$y=x$方向拉伸两倍：

选择第一组基为： α = { α 1 = ( 1 , 0 ) , α 2 = ( 0 , 1 ) } \alpha=\{ \alpha_1=(1,0),\alpha_2=(0,1) \} α={α1​=(1,0),α2​=(0,1)}，则有：

$$T({\alpha }_1+{\alpha }_2)=2({\alpha }_1+{\alpha }_2)$$

$$T({\alpha }_1-{\alpha }_2)={\alpha }_1-{\alpha }_2$$

根据上面两个式子可得：

$$T({\alpha }_1)=\frac{3}{2}{\alpha }_1+\frac{1}{2}{\alpha }_2$$

$$T({\alpha }_2)=\frac{1}{2}{\alpha }_1+\frac{3}{2}{\alpha }_2$$

因此：

$$A_{\alpha }(T)=\left[\begin{array}{cc}\frac{3}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{3}{2}\end{array}\right]$$

此时，我们再换另外一组基： α ~ = { α 1 = ( 1 , 1 ) , α 2 = ( 1 , − 1 ) } \tilde{\alpha}=\{ \alpha_1=(1,1), \alpha_2=(1,-1) \} α~={α1​=(1,1),α2​=(1,−1)}

类似的，我们可以求得：

$$T(\widetilde{{\alpha }_1})=2\widetilde{{\alpha }_1}$$

$$T(\widetilde{{\alpha }_2})=\widetilde{{\alpha }_2}$$

$$A_{\tilde{\alpha }}(T)=\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$$

1.2.相似变换下的不变性质

两个相似的矩阵有许多相同的性质（这里仅列出部分性质）：

1. 两者的秩相等。
2. 两者的行列式值相等。
3. 两者的迹数相等。
4. 两者拥有同样的特征值，尽管相应的特征向量一般不同。

1.2.1.矩阵的特征值和特征向量

设$A$是$n$阶方阵，如果数$\lambda$和$n$维非零列向量$x$使关系式$Ax=\lambda x$成立，那么这样的数$\lambda$称为矩阵$A$的特征值，非零向量$x$称为$A$对应于特征值$\lambda$的特征向量。

特征方程：$det(A-\lambda I)=0$，$I$为单位矩阵。

❗️$A$的迹等于所有特征值之和。

👉举个例子：

$$A=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right]$$

$A-\lambda I$为：

$$A=\left[\begin{array}{cc}2-\lambda & 1\\ 1& 2-\lambda \end{array}\right]$$

$$det(A-\lambda I)=(2-\lambda {)}^2-1=(\lambda -1)(\lambda -3)=0$$

解得两个特征值：${\lambda }_1=1;{\lambda }_2=3$。

$Ax=\lambda x$等价于$(A-\lambda I)x=0$，分别代入${\lambda }_1,{\lambda }_2$求得对应的特征向量：

$$\left[\begin{array}{cc}2-1& 1\\ 1& 2-1\end{array}\right]x=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right]x=0\Rightarrow x_1=\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]$$

$$\left[\begin{array}{cc}2-3& 1\\ 1& 2-3\end{array}\right]x=\left[\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]x=0\Rightarrow x_2=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$$

$x_1,x_2$乘以某一系数结果依旧成立。

‼️矩阵和其特征值存在两个非常重要的关系：假设矩阵$A$的特征值为$a_1,a_2,a_3,...,a_n$（重根重复记），则：

$$\sum a_i=\text{trace}(A)$$

$$\prod a_i=\text{det}(A)$$

2.相合变换

如果对于两个对称方阵$A$和$\tilde{A}$，存在一个可逆方阵$P$，使得$\tilde{A}=P^{T}AP$。那么这两个方阵就互为相合矩阵。

2.1.相合不变量

1. 矩阵的正定性（正定，负定）。
2. 矩阵的正负特征值的个数。
3. 相合变换下矩阵保持对称性。

3.正交相似变换

如果两个对称方阵$A$和$\tilde{A}$满足，$\tilde{A}=P^{T}AP$，而且$P$是正交矩阵：$P^T=P^{-1}$，那么这$A$与$\tilde{A}$就互为正交相似。

正交矩阵：方阵$Q$满足，$Q^{T}Q=Q{Q}^T=I$（等价于$Q^T=Q^{-1}$），其中$I$为单位矩阵。

若内积空间中两向量的内积为0，则称它们是正交的。

正交相似变换同时满足相似和相合变换的条件，也就是说它同时保持了矩阵的相似与相合不变量。

‼️任何一个对称矩阵$A$都可以正交相似于一个对角矩阵$D$。即总存在一个正交矩阵$P$使得，$A=P^{T}DP$。

对角矩阵（diagonal matrix）是一个主对角线之外的元素皆为0的矩阵。对角线上的元素可以为0或其他值。

4.参考资料

1. 相似矩阵（维基百科）

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