迪潘指标线

快捷键

• 加粗 Ctrl + B
• 斜体 Ctrl + I
• 引用 Ctrl + Q
• 插入链接 Ctrl + L
• 插入代码 Ctrl + K
• 插入图片 Ctrl + G
• 提升标题 Ctrl + H
• 有序列表 Ctrl + O
• 无序列表 Ctrl + U
• 横线 Ctrl + R
• 撤销 Ctrl + Z
• 重做 Ctrl + Y

迪潘指标线

 r[u_,v_]:={Sin[u],Sin[v],Cos[u+v]}

曲面$r[u,v]$上一点$P$，$P$是正则点，也就是说，曲面在$P$点的位置上，有唯一的切平面。
以$P$为原点，把过$P$的$u$曲线和$v$曲线在$P$点的切向量$r_u$和$r_v$作为基向量，那么切平面上的每一个点，都可以用$r_u$和$r_v$来表示。
注意，$r_u$和$r_v$的夹角未必是直角。
过P有无数个平面和切平面正交，选择其中一个法平面，与曲面$r[u,v]$相交，得到一条曲线，称为曲面的一条法截线；
法截线与切平面的交线，是法截线的切线；、
切线的方向，记为$d$；
设这条法截线的曲率是$k_n$，称为曲面在$P$点、$d$方向上的截曲率；
这样，每一个方向$d$上都有一个截曲率 $k_n$；
而$\dfrac{1}{| {k_n}|}$就是$d$方向上的曲率半径；
以$P$为圆心、 $\dfrac{1}{| {k_n}|}$为半径、在切平面上作圆，圆与切线交于$A$；
那么$A$的轨迹，称为曲面在$P$的迪潘指标线。
设$A$的坐标是$(x,y)$，那么$(x,y)\cdot (r_u,r_v)=\sqrt{\dfrac{1}{| {k_n}|}}\cdot \dfrac{dr}{|dr|}=\dfrac{r_udu+r_vdv}{\sqrt{| {k_n}|}\cdot| {r_udu+r_vdv}|}$，
注意到，$k_n=\dfrac{Ⅱ}{Ⅰ}$，所以，

$$Ex^2+2Fxy+Gy^2=\dfrac{Edu^2+2Fdudv+Gdv^2}{|Ldu^2+2Mdudv+Ndv^2|}=\dfrac{Ex^2+2Fxy+Gy^2}{|Lx^2+2Mxy+Ny^2|}$$
所以，$Lx^2+2Mxy+Ny^2=\pm 1$
这就是迪潘指标线的方程。
上式中的系数$L$、$M$、$N$与曲面上的方向无关.它们对于曲面上已知点来说为常数，并且上式中不含$x$、$y$的一次项，所以上述方程表示以$P$为中心的有心二次曲线，
这样,曲面上的点由它的迪潘指标线可以进行分类：
1，如果$LN-M^2>0$，则点$P$称为曲面的椭圆点，这时迪潘指标线是一椭圆；
2，如果$LN-M^2<0$，则点$P$称为曲面的双曲点，这时迪潘指标线是一对共轭双曲线；
3，如果$LN-M^2=0$，则点$P$称为曲面的抛物点，这时迪潘指标线是一对平行直线；
4，如果$L=M=N=0$，则点称为曲面的平点(平面上的点都是平点)，这时迪潘指标线不存在。