模板:莫比乌斯反演

如果有: 

F(d)=i|df(i)
那么有: 
f(d)=i|dμ(i)F(di)

 另一种形式是如果 
F(d)=d|if(i)
那么 
f(d)=d|iμ(id)F(i)

const int maxn=1e6+10;
ll prime[maxn],mob[maxn],vis[maxn],cnt;
void Mobius(){     //mob[1]=1,prime[0]=2;
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    memset(mob,0,sizeof(mob));
    memset(prime,0,sizeof(prime));
    mob[1] = 1;
    cnt = 0;
    for(ll i=2; i<maxn; i++){
        if(!vis[i]){
            prime[cnt++] = i;
            mob[i] = -1;
        }
        for(ll j=0; j<cnt&&i*prime[j]<maxn; j++){
            vis[i*prime[j]] = 1;
            if(i%prime[j]) mob[i*prime[j]] = -mob[i];
            else{
                mob[i*prime[j]] = 0;
                break;
            }
        }
    }
}




### 关于莫比乌斯反演模板代码 以下是基于线性筛法实现的莫比乌斯函数计算模板代码: ```cpp const int N = 1e6 + 5; int mob[N], vis[N], prime[N]; int tot; void Mobius(int n) { memset(prime, 0, sizeof(prime)); memset(mob, 0, sizeof(mob)); memset(vis, 0, sizeof(vis)); tot = 0; mob[1] = 1; // 初始化 mu(1) = 1 for (int i = 2; i <= n; ++i) { if (!vis[i]) { prime[tot++] = i; // 记录素数 mob[i] = -1; // 如果是质数,则 mu(p) = -1 } for (int j = 0; j < tot && i * prime[j] <= n; ++j) { vis[i * prime[j]] = 1; // 标记合数 if (i % prime[j] == 0) { mob[i * prime[j]] = 0; // 若 p 整除 i,则 mu(ip) = 0 break; } else { mob[i * prime[j]] = -mob[i]; // 否则 mu(ip) = -mu(i) } } } } ``` 上述代码实现了通过线性筛法快速预处理莫比乌斯函数值的功能[^1]。 --- ### 莫比乌斯反演的学习资料推荐 #### 定义与基本形式 莫比乌斯反演的核心在于两个互逆的关系式: - $ f(n) = \sum_{d|n} g(d) $ - $ g(n) = \sum_{d|n} \mu(d) f\left(\frac{n}{d}\right) $ 其中 $\mu$ 是莫比乌斯函数,定义如下: $$ \mu(n) = \begin{cases} 1 & \text{如果 } n=1 \\ (-1)^k & \text{如果 } n \text{ 是无平方因子数且有 } k \text{ 个不同质因数} \\ 0 & \text{其他情况} \end{cases} $$ 这些关系可以用于解决涉及整除和约数的问题[^3]。 #### 应用场景举例 1. **计数问题** 给定一个正整数 $n$,求满足某些条件的数的数量。例如,求长度为 $n$ 的字符串且其循环节也为 $n$ 的字符串数量可以通过莫比乌斯反演来优化复杂度[^2]。 2. **加权约数和** 对于给定范围内的所有数,计算某种加权约数和的形式化表达式也可以借助莫比乌斯反演简化计算过程[^4]。 3. **组合数学中的应用** 利用狄利克雷卷积以及容斥原理推导复杂的组合公式时,莫比乌斯反演提供了一种有效的工具[^5]。 --- ###
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