hdu 1695 GCD（莫比乌斯反演入门）

最新推荐文章于 2022-07-20 22:37:24 发布

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本文介绍如何使用莫比乌斯反演解决一个特定的数学问题：在两个区间内选择一对数，使得它们的最大公约数等于给定值。通过变换问题的形式并利用莫比乌斯函数进行反演，实现高效求解。

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【a，b】选一个x，【c，d】选一个y，使gcd（x，y）=k，求符合条件的gcd（x，y）对数。

和上个gcd一样，变成【1，b/k】选x，【1，d/k】选y，使gcd（x，y）=1，这时可以用欧拉函数，但我们要用Mobius

用莫比乌斯反演：

主要是找出合适的f（i）和F（d）；

F(d)=∑d|if(i)

例如1 5 1 6 2，符合条件的对数为4，分别为（2,2）（2,4）（2，6）（4，2）

d=2，按d | i 枚举 i 得到f（i），相加（ i 即为 x）。

但我们不这么做，这只是为了理解这个公式。按刚才处理的方法做：使gcd（x，y）=1

用这个形式：F(d)=∑i|df(i)F(d

i = 1，枚举所有可能的 d ，显然是个 d 就一定能整除1，所以可能的（x，y）的对数F（d）就等于C（1，b/k）*C（1，d/k）；

再来这个反演公式：f(d)=∑i|dμ(i)F(di)

这里的F（d/i）=（b/k*d/k）/i=b/k/i * d/k/i；第二个好啊，防溢出

这就做出来了。

再减去多数的部分。

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;

const int maxn=1e6+10;
ll prime[maxn],mob[maxn],vis[maxn],cnt;
void Mobius(){     //mob[1]=1,prime[0]=2;
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    memset(mob,0,sizeof(mob));
    memset(prime,0,sizeof(prime));
    mob[1] = 1;
    cnt = 0;
    for(ll i=2; i<maxn; i++){
        if(!vis[i]){
            prime[cnt++] = i;
            mob[i] = -1;
        }
        for(ll j=0; j<cnt&&i*prime[j]<maxn; j++){
            vis[i*prime[j]] = 1;
            if(i%prime[j]) mob[i*prime[j]] = -mob[i];
            else{
                mob[i*prime[j]] = 0;
                break;
            }
        }
    }
}
int main(){
    int t;
    ll a,b,c,d,k;
    Mobius();
    scanf("%d",&t);
    for(int cases=1;cases<=t;cases++){
        scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&a,&b,&c,&d,&k);
        if(k==0){ printf("Case %d: 0\n",cases); continue;}
        ll ans1=0,ans2=0;
        b=b/k;d=d/k;
        for(ll i=1;i<=min(b,d);i++) //gcd(x,y)=i，而i都大于从1到b中选的x了，显然不合理。
            ans1+=mob[i]*(b/i)*(d/i);
        for(ll i=1;i<=min(b,d);i++)  //减去相同部分即可
            ans2+=mob[i]*(min(b,d)/i)*(min(b,d)/i);
        ans1=ans1-ans2/2;
        printf("Case %d: %lld\n",cases,ans1);
    }
    return 0;
}