HDU 5950 Recursive sequence（矩阵快速幂）

最新推荐文章于 2019-03-17 13:54:13 发布

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分类专栏： hdu 矩阵 acm

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本文介绍了一种使用矩阵快速幂的方法解决特定形式的递归数列问题，该数列包含了一个复杂的n^4项。文章详细展示了如何通过二项式展开将n^4项转换成递推形式，并给出了完整的C++代码实现。

题意：

给出一个表达式 fn= fn-1 + 2*f(n-2 ) +n^4

思路：

重点在于n^4 的拆解，如何可以拆解为n-1的若干项的形式，可以考虑用二项式展开来拆解，也就是将n^4 拆解为 ((n-1)+1)^4,之后C(4,0)(n-1)^4+C(4,1)(n-1)^3如此即可

#include <iostream>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
#include <queue>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n,m;
const int maxn=8;
const ll mod=2147493647;
struct Matrix//矩阵的类
{
  ll a[maxn][maxn];
  void init()           //将其初始化为单位矩阵
  {
    memset(a,0,sizeof(a));
    for(int i=1;i<maxn;i++)
      a[i][i]=1;
  }
}  ;

Matrix mul(Matrix a,Matrix b)  //(a*b)%mod  矩阵乘法
{
  Matrix ans;
  memset(ans.a,0,sizeof(ans.a));
  for(int i=1;i<maxn;i++)
  {
        ans.a[i][i]=1;
  }
  for(int i=1;i<maxn;i++)
    for(int j=1;j<maxn;j++)
    {
      ans.a[i][j]=0;
      for(int k=1;k<maxn;k++)
        ans.a[i][j]+=a.a[i][k]*b.a[k][j]%mod;
      ans.a[i][j]%=mod;
    }
    return ans;
}

Matrix pow(Matrix a)
{
    Matrix res ;
  memset(res.a,0,sizeof(res.a));
  for(int i=1;i<maxn;i++)
  {
        res.a[i][i]=1;
  }
    while(n)
    {
        if(n&1)
        {
            res=mul(a,res);
        }
        a=mul(a,a);
        n/=2;
    }
    return res;

}


int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        ll a,b;
        scanf("%lld%lld%lld",&n,&a,&b);
        Matrix ans;
        ans.a[1][1]=b,ans.a[2][1]=a,ans.a[3][1]=16,ans.a[4][1]=8,ans.a[5][1]=4,ans.a[6][1]=2,ans.a[7][1]=1;
        Matrix base,res;
        ll sss[8][8]={
        {0,0,0,0,0,0,0,0},
        {0,1,2,1,4,6,4,1},
        {0,1,0,0,0,0,0,0},
        {0,0,0,1,4,6,4,1},
        {0,0,0,0,1,3,3,1},
        {0,0,0,0,0,1,2,1},
        {0,0,0,0,0,0,1,1},
        {0,0,0,0,0,0,0,1}};
        for(int i=0;i<=7;i++)
        {
            for(int j=0;j<=7;j++)
                base.a[i][j]=sss[i][j];
        }
        if(n==1)
        {
            printf("%lld\n",a);
        }
        else if(n==2)
        {
            printf("%lld\n",b);
        }
        else
        {
        n=n-2;
        res=pow( base );

        ans=mul(res,ans);

        printf("%lld\n",ans.a[1][1]);
        }

    }


}