数学基础：数论与概率初步-优快云博客

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本文介绍了数学中的数论概念，包括欧几里得定理、Eratosthenes筛法、扩展欧几里得算法和模算数。此外，还探讨了计数与概率的基础知识，如杨辉三角、二项式定理、计数问题和离散概率的初步概念。

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数论初步

1. 欧几里得定理和唯一分解定理

A.欧几里得定理（即辗转相除法求最大公约数，Euclid algorithm）

算法：gcd(); 恒等式：gcd(a, b) = gcd( b, a %b) ，边界条件 gcd( a, 0) = a

原理分析： 123456 和 7890 的最大公因数是 6，这可由下列步骤（其中，“a mod b”是指取 a ÷ b 的余数）看出：

a	b	a mod b
123456	7890	5106
7890	5106	2784
5106	2784	2322
2784	2322	462
2322	462	12
462	12	6
12	6	0

函数体：

int gcd (int a, int b){
    return b==0 ? a : gcd(b, a%b);
}

B.唯一分解定理（求最小公倍数）

函数：lcm(a,b)

设

$a = p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}...p_{r}^{e_{r}}$

$b = p_{1}^{f_{1}}p_{2}^{f_{2}}...p_{r}^{f_{r}}$

则

$gcd(a,b) = p_{1}^{min\left \{e_{1},f_{1} \right \}} p_{2}^{min\left \{e_{2},f_{2} \right \}}... p_{r}^{min\left \{e_{r},f_{r} \right \}}$

$lcm(a,b) = p_{1}^{max\left \{e_{1},f_{1} \right \}} p_{2}^{max\left \{e_{2},f_{2} \right \}}... p_{r}^{max\left \{e_{r},f_{r} \right \}}$

不难验证， $gcd(a,b) * lcm(a,b) = a * b$ ，故 $lcm(a,b) = a/gcd(a,b) * b$

注意：先除后乘，先乘后除（即 $a*b/gcd(a,b)$ ）中 a*b 这一步可能会溢出。

2. Eratosthenes筛法

A. 构造1~n 的素数表。

思想：对于不超过n 的每个非负整数p，删除2p，3p，4p，...，当处理完所有数后，还没有被删除的数就是素数。如果用vis[i]表示i是否被删除，筛选的代码如下：

memset(vis,0,sizeof(vis));
for(int i = 2; i <= n; i++)
    for(int j = i*2; j <= n; j += i)
        vis[j] = 1;

时间复杂度0（nlogn）,允许在很短的时间内得到 $^{10^{6}}$ 以内的所有素数。

改进

int m = sqrt(n + 0.5）；
memset(vis,0,sizeof(vis));
for(int i = 2; i <= m; i++)
{
    if(!vis(i)
    {
        for(int j = i*i; j <= n; j += i)
            vis[j] = 1;
    }
}

B. 素数定理

不超过n的正整数中，素数的个数：，即和比较接近，

$N$	$10^{2}$	$10^{3}$	$10^{4}$	$10^{5}$	$10^{6}$	$10^{7}$	$10^{8}$
$\pi \left ( x \right )$	25	168	1229	9592	78498	664579	5761455
	22	145	1086	8686	72382	620421	5428681

注意：

质数（prime number）又称素数，有无限个。

质数定义为在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数。附部分素数表如下：

3. 扩展欧几里得算法

算法描述：找出一对整数（x, y）,使得 ax + by = gcd(a,b)。其中x, y可以是正数、负数或者0。例如：gcd(6,15) = 3， 6 * 3 + 15 *(-1) = 3，其中 x = 3， y = -1，这个方程的解可能不唯一。相应代码如下：

void gcd (int a, int b, int &d, int x, int y)
{
    if(!b)
    {
        d = a; x = 1; y = 0;//边界
    }
    else
    {
        gcd(b, a%b, d, y, x);
        y -= x*(a/b);
    }
}

4. 同余与模算数

A. 基础： a mod b 表示a 除以 b 的余数， C语言表达式 a % b 。(b 为正整数，b<0时表达式也合法，但为防止b = 0，此处设b > 0)

则：

注意： a mod n 可能小于 b mod n ，需要相减后加上n

注意： a mod n 和 b mod n 相乘后可能超过int 的范围，需要用long long 保存中间结果。

公式三代码：

int mul_mod (int a, int b, int n)
{
    a %= n; b %= n;
    return (int)((long long) a * b % n);
}

B. 大整数取模

输入正整数n和m，输出 n mod m 的值。 $n\leqslant 10^{100}$ ， $m\leqslant 10^{9}$ 。

scanf("%s%d",n,&m);
int len = strlen(n);
int ans = 0; 
for(int i = 0; i < len; i++)
    ans = (int)(( (long long) ans*10 + n[i] - '0')%m);
printf("%d\n", ans);

C. 幂取模

输入正整数 a、n和m，输出 $a^{n} mod \, m$ 的值。 $a,n,m\leqslant 10^{9}$

int pow_mod(int a, int n, int m){
    int ans = 1;
    for(int i = 0; i < n; i++)
        ans = (int)((long long)ans * a % m);
}

该算法的时间复杂度为O(n)，当n很大时，速度慢，利用分治法改进：

int pow_mod(int a, int n, int m){
    if(n == 0) return 1;
    int x = pow_mod(a, n/2, m);
    long long ans = (long long) x * x % m;
    if(n%2 == 1) ans = ans * a % m;
    return (int)ans;
}

D. 模线性方程组

记号 $\equiv$ 表示同余， $a\equiv b(mod\, n)$ 含义是“a和b关于模n同余”，即 $a\, mod\, n = b\, mod\, n$ ，等价于 a - b 是 n 的整数倍。输入正整数 a、 b、n，解方程 $ax\equiv b(mod\, n)$ 。 $a,b,n\leqslant 10^{^{9}}$ 。设倍数为y，即求解方程 $ax-b = ny$ 解集是一个同余等价类。

计数与概率基础

1. 杨辉三角与二项式定理

A. 基础

1）加法原理：做一件事情有n个办法，每个办法有 $p_{i}$ 种方案，则一共有 $p_{1}+p_{2}+...+p_{n}$ 种方案。 2）乘法原理：做一件事情有n个步骤，第i个步骤有 $p_{i}$ 种方案，则一共有 $p_{1}p_{2}...p_{n}$ 种方案。 3）容斥原理：当方案归属间之间有交叉时，方案数为 $\left | A\cup B\cup C \right |=\left | A \right |+\left | B \right |+\left | C \right |-\left | A\cap B \right |-\left | B\cap C \right |-\left | B\cap C \right |+\left | A\cap B\cap C \right |$ ，且并集前的符号规律为：奇数个集合符号为正，偶数个集合符号为负。 4）有重复元素的全排列：有k个元素，其中第i个元素有 $n_{_{i}}$ 个，求全排列个数。 分析：令所有ni之和为n，设所求全排列个数为x，首先做全排列，然后把所有元素编号。其中第s中元素编号为1~ns，由于编号后所有元素均不相同，方案总数为n的全排列数n！，即 n1!n2!n3!...nk!x=n!，再移项，即 $x = \frac{n!}{n_{1}!* n_{2}!***n_{k}! }$ 5）可重复选择的组合：有n个不同元素，每个元素可以选多次，一共选k个元素，有多少种方法？例如，n = 3 ，k = 2时有6种：（1,1）、（1,2）、（1,3）、（2,2）、（2,3）、（3，3）。分析：设第i个元素选 $x_{i}$ 个，则问题转化为求方程 $x_{1}+x_{2}+...+x_{k} = k$ 的非负整数解的个数。令 $y_{i} = x_{i} + 1$ ，则问题转化为求方程 $y_{1}+y_{2}+...+y_{k} = k + n$ 的正整数解的个数。想象 $k+n$ 个“1”排成一排，则问题等价为：把这些“1”分成 $n$ 个部分,有多少种分法？相当于在 $k+n-1$ 个“候选分割线”中选 $n-1$ 个，即 $C_{k+n-1}^{n-1} = C_{n+k-1}^{k}$ $(a+b)^{n}$

B. 杨辉三角

C. 二项式定理

把 $(a+b)^{n}$ 展开，将得到一个关于 $x$ 的多项式： $(a + b)^{0} = 1$ $(a+b)^{1}=a+b$ $(a+b)^{2} = a^{2}+2ab+b^{2}$ $(a + b)^{3}= a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$ $(a+b)^{4} = a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}$ $......$ 系数刚好和杨辉三角形一致，一般的，有二项式定理： $(a+b)^{n}= \sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}$ 递推公式： $C_{n}^{k} = \frac{n-k+1}{k}C_{n}^{k-1}$ ， $C_{n}^{0} = 1$

D. 输出杨辉三角形

//方法一，时间复杂度o(n^2)
memset(C,0,sizeof(C));
for(int i = 0; i <= n; i++)
{
    C[i][0] = 1;
    for(int j = 0; j <= i; j++)
        C[i][j] = C[i-1][j-1] + C[i-1][j];
}
//方法二：递推公式
memset(C,0,sizeof(C));
for(int i = 0; i <= n; i++)
{
    C[i] = 1;
    for(int j = 0; j <= i; j++)
        C[i] = C[i-1] * (n-i+1)/i;
}

2. 数论中的计数问题

A. 约数的个数。 给出正整数n的唯一分解式 $n=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}p_{3}^{a_{3}}...p_{k}^{a_{k}}$ ，求n个正约数的个数。 n的任意正约数也只能包含 $p_{1}$ ， $p_{2}$ ， $p_{3}$ 等因子，不会有新的素因子出现。对于n的某个素因子 $p_{i}$ ，它在所求约数的指数可以是0,1,2，...， $a_{i}$ 共 $a_{i}+1$ 种情况。而且不同的素因子之间相互独立，根据乘法原理，n的正约数个数为： $\prod_{i=1}^{k}(a_{i}+1)=(a_{1}+1)(a_{2}+1)(a_{3}+1)...(a_{k}+1)$