Codeforces 799F Beautiful fountains rows 乱搞

本文介绍了一种利用随机权值解决特定区间和问题的方法,通过枚举右端点并使用map统计,解决了区间内元素出现次数为奇数或零次的情况,并给出了完整的C++实现代码。

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题意

有n种球,每种球会出现在[li,ri]中。
对于所有满足这个区间有球,每种球都出现过奇数次或者没有出现过,且至少存在一个球的区间,求这些区间长度的和。
n,ri<=2e5

分析

我们可以给每个点赋一个随机权值,然后问题就变成了有多少个区间满足区间内出现过的数和区间内出现过的每个数的权值异或和为0。
枚举右端点然后用map统计一下即可。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<map>
#define pb(x) push_back(x)
using namespace std;

typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;

const int N=200005;

int n,m,vis[N];
ull val[N],sum[N],tag;
vector<int> vec[N];
map<ull,LL> ma1,ma2;

ull Random()
{
    ull ret=((ull)rand()*rand()*rand()*236484161+(ull)rand()*546464131);
    return ret; 
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        int l,r;val[i]=Random();scanf("%d%d",&l,&r);
        vec[l].pb(i);
        vis[l]++;vis[r+1]--;
        sum[l]^=val[i];sum[r+1]^=val[i];
    }
    for (int i=1;i<=m;i++) vis[i]+=vis[i-1],sum[i]^=sum[i-1];
    for (int i=1;i<=m;i++) sum[i]^=sum[i-1];
    LL ans=0;
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        tag^=sum[i]^sum[i-1];
        for (int j=0;j<vec[i].size();j++) tag^=val[vec[i][j]];
        ma1[tag]++;ma2[tag]+=i-1;
        ans+=(LL)i*ma1[tag]-ma2[tag];
    }
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        if (vis[i]) continue;
        int r=i;
        while (r<m&&!vis[r+1]) r++;
        int len=r-i+1;
        for (int j=1;j<=len;j++) ans-=(LL)j*(len-j+1);
        i=r;
    }
    printf("%I64d",ans);
    return 0;
}
Codeforces 2123F 问题中,目标是通过重新排列数组 $ a $ 来最小化不动点的数量。所谓“不动点”是指在重新排列后的数组中满足 $ a_i = i $ 的位置。该问题要求设计一种策略,以最优方式重新排列数组元素,使得这样的不动点数量最少。 为了解决这个问题,可以采用贪心算法和图论思想相结合的策略: - 首先,观察到如果某个值 $ i $ 出现了多次(即 $ a_i = i $),那么这些重复的值必须被移动到其他位置,以消除不动点。 - 对于那些没有出现在其索引上的值(例如 $ a_i \neq i $),可以通过交换操作将其移动到合适的位置,从而避免产生新的不动点。 一个有效的解决方案可以基于以下步骤: 1. 构建一个映射表,记录每个值出现的位置。 2. 找出所有当前值等于其索引的位置(即当前的不动点)。 3. 尝试通过交换来消除这些不动点。优先考虑将这些值移动到未被占用的位置,并确保不会引入新的不动点。 4. 在无法完全消除所有不动点的情况下,选择最优的交换策略以尽可能减少不动点的数量。 以下是 Python 中的一个示例实现,用于解决此类问题的基本思路: ```python def minimize_fixed_points(n, a): pos = {} fixed_points = [] # 记录每个值的出现位置,并找出初始的不动点 for i in range(n): if a[i] == i + 1: fixed_points.append(i) if a[i] not in pos: pos[a[i]] = [] pos[a[i]].append(i) # 如果没有重复的值,则可以直接交换以消除所有不动点 result = a[:] for i in fixed_points: found = False for val in pos: if val != i + 1 and len(pos[val]) > 0: j = pos[val].pop() result[i], result[j] = result[j], result[i] found = True break if not found: # 特殊情况处理:当只剩下一个值时 for j in range(n): if j != i and result[j] != j + 1: result[i], result[j] = result[j], result[i] break return result # 示例输入 n = int(input()) a = list(map(int, input().split())) result = minimize_fixed_points(n, a) print(' '.join(map(str, result))) ``` 此代码实现了上述逻辑,并尝试通过交换来最小化不动点的数量。对于大多数情况,它能够有效消除所有不动点;在某些特殊情况下(例如所有值都唯一且存在多个不动点),则需要特别处理。
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