51nod 1245 Binomial Coefficients Revenge kummer定理+数位dp

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数位dp

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本文介绍了一个基于库默尔定理的问题解决方法，该问题是关于计算特定组合数序列中各元素被给定质数及其幂次整除的情况。通过数位DP的方法，实现了高效计算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意

C(M,N) = M! / N! / (M - N)! (组合数)。给出M和质数p，求C(M,0), C(M,1)……C(M,M)这M + 1个数中，有多少数不是p的倍数，有多少是p的倍数但不是p^2的倍数，有多少是p^2的倍数但不是p^3的倍数……。
1 <= T <= 5000，2 <= M, P <= 10^18

分析

去学习了一发kummer定理，简称库默尔定理。大概就是说
这里写图片描述

然后就可以愉快的数位dp了。设f[i,j,0/1]表示从低到高做到第i位，进位了j次且该位是否进位的方案，转移显然。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;

LL n,p,a[65],f[65][65][2];

void solve()
{
    LL tmp=n;int a1=0;
    while (tmp) a[++a1]=tmp%p,tmp/=p;
    memset(f,0,sizeof(f));
    f[0][0][0]=1;
    for (int i=1;i<=a1;i++)
    {
        f[i][0][0]=f[i-1][0][0]*(a[i]+1);
        for (int j=1;j<=a1;j++)
        {
            f[i][j][0]=f[i-1][j][0]*(a[i]+1)+f[i-1][j][1]*a[i];
            f[i][j][1]=f[i-1][j-1][0]*(p-a[i]-1)+f[i-1][j-1][1]*(p-a[i]);
        }
    }
    for (int i=0;i<=a1&&f[a1][i][0];i++) printf("%lld ",f[a1][i][0]);
    puts("");
}

int main()
{
    int T;scanf("%d",&T);
    while (T--)
    {
        scanf("%lld%lld",&n,&p);
        solve();
    }
    return 0;
}