POJ 3320 · Jessica's Reading Problem【尺取法】

【题意】

为了准备考试，Jessica开始读一本很厚的课本。要想通过考试，必须把课本中所有的知识点都掌握。这本书总共n页，第$i$页恰好有一个知识点$a_{i}$（每个知识点都有一个整数编号）。全书中同一个知识点可能会被多次提到，所以她希望通过阅读其中连续的一些页把所有的知识点都覆盖到。给定每页写到的知识点，请求出要阅读的最少页数。
限制条件：
$1 \leq n \leq 10^{6}$

【提炼】

计算一段连续的包含所有知识点的子序列的最小长度。（知识点至少出现一次）

【分析】

连续求最小长度，除了dp，首先想到尺取法。

将原问题：求覆盖到所有知识点区间$[s, t]$的长度的最小值，

根据尺取法的特点，可以将问题转换为：

已知$[s, t]$，求下一个区间覆盖到所有知识点的区间$[s+1, t']$，这时，必须满足$t' \geq t$。

$$所有知识点都被覆盖<==>每个知识点出现的次数都不小于1$$

由以上等价关系，将问题转换为：
从区间的最开始把s取出之后，直到某个知识点出现次数变为0，然后不停将区间末尾t向后推进，重新计算知识点出现的次数以及记录满足条件的最小长度。最终，当t到达数据尾部，算法执行结束。

暴力需要$O(n^2)$

用map存储$[s, t]$区间上的每个知识点的出现次数，问题又转化为：
从区间的最开始把s取出之后，将该知识点出现次数减1，若该知识点出现次数为0，在同一知识点再次出现前，不停地将区间末尾t向后移动。每次在区间末尾追加页数t时将t所在的知识点的出现次数加1，这样就完成了下一个区间上各知识点的出现次数的更新。最后，遍历一遍全部区间求出最小区间需要$O(nlogn)$。

【时间复杂度】

由于使用了二叉树的存储结构来保存每个知识点的出现次数，时间复杂度为

$$O(nlogn)$$

【代码】

/*
    coder:  Tangent Chang
    date:   2017/5/9
    A day is a miniature of eternity. by Emerson
*/

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <set>
#include <map>

using namespace std;

const int maxn = 1000005;

int d[maxn];
set<int> ST;
map<int , int> MP;

int main() {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        scanf("%d", &d[i]);
        ST.insert(d[i]);
    }
    int tmp = n;
    n = ST.size();
    int s = 0, t = 0, num = 0, res = tmp + 1;
    while (1) {
        while (t < tmp && num < n) {
            if (MP[d[t++]]++ == 0) {
                num++;
            }
        }
        if (num < n) break;
        res = res < t - s ? res : t - s;
        if (--MP[d[s++]] == 0) {
            num--;
        }
    }
    printf("%d\n", res);
    return 0;
}