奇妙的数学 · 完全平方数~总结

最新推荐文章于 2019-01-15 21:32:33 发布

skyxiao007

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分类专栏： ----杂论----

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这篇博客详细介绍了完全平方数的定义、几何意义、表达式和各种性质，包括平方数的个位数、十位数规律，以及关于平方数的多位数模式。文章通过证明和例子阐述了完全平方数的判断规则，并提供了多个重要结论帮助识别非完全平方数。

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说明

定义

数学上，平方数，或称完全平方数，是指可以写成某个整数的平方的数，即其平方根为整数的数。例如， $729 = 27 × 27$ ，它是一个平方数。

几何意义

平方数也称正方形数，若 n 为平方数，将 n 个点排成矩形，可以排成一个正方形。

扩大范围

若将平方数概念扩展到有理数，则两个平方数的比仍然是平方数，例如， $\frac{(2 × 2)} {(3 × 3)} = \frac{4}{9} = \frac{2}{3} × \frac{2}{3}$ 。

平方数因数

若一个整数没有除了 1 之外的平方数为其因数，则称其为无平方数因数的数。

表达式

几何

一个整数是完全平方数当且仅当相同数目的点能够在平面上排成一个正方形的点阵，使得每行每列的点都一样多。

正方形数

通项公式

对于一个整数 n，它的平方写成 $n^2$ 。 $n^2$ 等于头 $n$ 个正奇数的和（
$n 2 = \sum k = 1 n (2 k - 1)$ $n^2=\sum_{k=1}^{n}(2k-1)$ ）。在上图中，从1开始，第
$n$ 个平方数表示为前一个平方数加上第 $n$ 个正奇数，如 $5^2 = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 16 + 9$ 。即第五个平方数 $25$ 等于第四个平方数 $16$ 加上第五个正奇数： $9$ 。

递归公式

每个平方数可以从之前的两个平方数计算得到，递推公式为
$n 2 = 2 (n - 1) 2 - (n - 2) 2 + 2$ $n^2=2(n-1)^2-(n-2)^2+2$ 。
例如，
$2×5^2 − 4^2 + 2 = 2×25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 6^2$ 。