Lucas定理学习小记

(1)Lucas定理:p为素数,则有:

(2)证明: n=(ak...a2,a1,a0)p = (ak...a2,a1)p*p + a0 =  [n/p]*p+a0,m=[m/p]*p+b0其次,我们知道,对任意质数p有(1+x)^p=1+(x^p)(mod p) 。我们只要证明这个式子:C(n,m)=C([n/p],[m/p]) * C(a0,b0)(mod p),那么就可以用归纳法证明整个定理。对于模p而言,我们有下面的式子成立:

上式左右两边的x的某项x^m(m<=n)的系数对模p同余。其中左边的x^m的系数是 C(n,m)。 而由于a0和b0都小于p,因此右边的x^m 一定是由 x^([m/p]*p) 和 x^b0 (即i=[m/p] , j=b0 ) 相乘而得 因此有:C(n,m)=C([n/p],[m/p]) * C(a0,b0)  (mod p)。

(3)拓展应用:上面的p是素数,那么不是素数怎么办呢?若不是素数,将p分解质因数,将C(n,m)分别按照(1)中的方法求对p的质因数的模,然后用中国剩余定理合并。比如计算C(10,3)%14。C(10,3)=120,14有两个质因数2和7,120%2=0,120%7=1,这样用(2,0)(7,1)找到最小的正整数8即是答案,即C(10,3)%14=8。注意,这里只适用于p分解完质因数后每个质因数只出现一次,例如12=2*2*3就不行,因为2出现了两次。若p分解完质因数后,含有某个质因数出现多次,比如C(10,3)%98,其中98=2*7*7,此时就要把7*7看做一个数,即:120%2=0,120%49=22,用(2,0)(49,22)和中国剩余定理得到答案22,即C(10,3)%98=22。此时,你又会有疑问,C(10,3)%49不也是模一个非素数吗?此时不同的是这个非素数不是一般的非素数,而是某个素数的某次方。下面(4)介绍如何计算C(n,m)%p^t(t>=2,p为素数)。

(4)计算C(n,m)%p^t。我们知道,C(n,m)=n!/m!/(n-m)!,若我们可以计算出n!%p^t,我们就能计算出m!%p^t以及(n-m)!%p^t。我们不妨设x=n!%p^t,y=m!%p^t,z=(n-m)!%p^t,那么答案就是x*reverse(y,p^t)*reverse(z,p^t)(reverse(a,b)计算a对b的乘法逆元)。那么下面问题就转化成如何计算n!%p^t。比如p=3,t=2,n=19,

n!=1*2*3*4*5*6*7*8* ……*19

   =[1*2*4*5*7*8*… *16*17*19]*(3*6*9*12*15*18)

   =[1*2*4*5*7*8*… *16*17*19]*3^6(1*2*3*4*5*6)

然后发现后面的是(n/p)!,于是递归即可。前半部分是以p^t为周期的[1*2*4*5*7*8]=[10*11*13*14*16*17](mod 9)。下面是孤立的19,可以知道孤立出来的长度不超过 p^t,于是暴力即可。那么最后剩下的3^6啊这些数怎么办呢?我们只要计算出n!,m!,(n-m)!里含有多少个p(不妨设a,b,c),那么a-b-c就是C(n,m)中p的个数,直接算一下就行。

至此整个计算C(n,m)%p(p为任意数)的问题完美解决。下面给出代码:

 

i64 POW(i64 a,i64 b,i64 mod)
{
    i64 ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) ans=ans*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}

i64 POW(i64 a,i64 b)
{
    i64 ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) ans=ans*a;
        a=a*a;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}


i64 exGcd(i64 a,i64 b,i64 &x,i64 &y)
{
    i64 t,d;
    if(!b)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    d=exGcd(b,a%b,x,y);
    t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
    return d;
}

bool modular(i64 a[],i64 m[],i64 k)
{
    i64 d,t,c,x,y,i;

    for(i=2;i<=k;i++)
    {
        d=exGcd(m[1],m[i],x,y);
        c=a[i]-a[1];
        if(c%d) return false;
        t=m[i]/d;
        x=(c/d*x%t+t)%t;
        a[1]=m[1]*x+a[1];
        m[1]=m[1]*m[i]/d;
    }
    return true;
}



i64 reverse(i64 a,i64 b)
{
    i64 x,y;
    exGcd(a,b,x,y);
    return (x%b+b)%b;
}

i64 C(i64 n,i64 m,i64 mod)
{
    if(m>n) return 0;
    i64 ans=1,i,a,b;
    for(i=1;i<=m;i++)
    {
        a=(n+1-i)%mod;
        b=reverse(i%mod,mod);
        ans=ans*a%mod*b%mod;
    }
    return ans;
}

i64 C1(i64 n,i64 m,i64 mod)
{
    if(m==0) return 1;
    return C(n%mod,m%mod,mod)*C1(n/mod,m/mod,mod)%mod;
}

i64 cal(i64 n,i64 p,i64 t)
{
    if(!n) return 1;
    i64 x=POW(p,t),i,y=n/x,temp=1;
    for(i=1;i<=x;i++) if(i%p) temp=temp*i%x;
    i64 ans=POW(temp,y,x);
    for(i=y*x+1;i<=n;i++) if(i%p) ans=ans*i%x;
    return ans*cal(n/p,p,t)%x;
}

i64 C2(i64 n,i64 m,i64 p,i64 t)
{
    i64 x=POW(p,t);
    i64 a,b,c,ap=0,bp=0,cp=0,temp;
    for(temp=n;temp;temp/=p) ap+=temp/p;
    for(temp=m;temp;temp/=p) bp+=temp/p;
    for(temp=n-m;temp;temp/=p) cp+=temp/p;
    ap=ap-bp-cp;
    i64 ans=POW(p,ap,x);
    a=cal(n,p,t);
    b=cal(m,p,t);
    c=cal(n-m,p,t);
    ans=ans*a%x*reverse(b,x)%x*reverse(c,x)%x;
    return ans;
}

//计算C(n,m)%mod
i64 Lucas(i64 n,i64 m,i64 mod)
{
    i64 i,t,cnt=0;
    i64 A[205],M[205];
    for(i=2;i*i<=mod;i++) if(mod%i==0)
    {
        t=0;
        while(mod%i==0)
        {
            t++;
            mod/=i;
        }
        M[++cnt]=POW(i,t);
        if(t==1) A[cnt]=C1(n,m,i);
        else A[cnt]=C2(n,m,i,t);
    }
    if(mod>1)
    {
        M[++cnt]=mod;
        A[cnt]=C1(n,m,mod);
    }
    modular(A,M,cnt);
    return A[1];
}

 

  

 

转载于:https://www.cnblogs.com/jianglangcaijin/p/3446839.html

<think>嗯,用户想了解Lucas定理,涉及数学、计算机科学、组合数和取模运算。我需要先回忆一下Lucas定理的基本内容和应用场景。首先,Lucas定理是用来计算组合数取模的一个方法,特别是当模数是质数的时候。这个定理在组合数学和算法竞赛中应该比较常见,因为处理大数组合数取模的问题时,直接计算可能会非常耗时或者溢出,所以需要高效的算法。 根据用户提供的引用,特别是引用[3]提到数论是算法竞赛的重要部分,Lucas定理作为数论中的一个定理,可能在竞赛中用于解决组合数取模的问题。用户的问题涉及组合数和取模运算,所以需要详细说明定理的表述、证明思路以及实际应用方法。 首先,Lucas定理的具体内容是什么?我记得定理指出,对于质数p,将两个非负整数m和n表示为p进制展开,即m = m_k p^k + ... + m_0,n = n_k p^k + ... + n_0,那么组合数C(m, n) mod p等于各个对应位组合数C(m_i, n_i)的乘积再mod p。如果某一位的n_i > m_i,则整个组合数mod p为0。 接下来需要解释定理的数学表达式,用LaTeX写成独立公式。比如: $$ \binom{m}{n} \equiv \prod_{i=0}^k \binom{m_i}{n_i} \pmod{p} $$ 其中,m_i和n_i是m和n在p进制下的各位数字。这个表达式需要正确使用$$...$$格式,并且单独成段。 然后,定理的证明思路是怎样的?通常,证明会用到生成函数或者多项式展开,利用二项式定理在模p下的性质。例如,考虑多项式(1 + x)^m在模p下的展开,并分解为各个p进制位的乘积。这部分可能需要引用二项式定理Lucas的原始论文,但用户提供的引用中没有直接相关的,所以可能需要简要说明证明的大致步骤,而不过多深入细节。 应用场景方面,用户可能关心的是在算法竞赛中如何用Lucas定理快速计算组合数模质数的情况。例如,当需要计算C(n, k) mod p,其中p是质数,且n和k很大(比如1e18),这时候直接计算不可行,使用Lucas定理可以将问题分解为多个小规模的组合数计算,这些小组合数可以通过预计算阶乘和逆元来处理。 在步骤解释时,需要分步说明如何应用Lucas定理。例如: 1. 将n和k转换为p进制数。 2. 对每一位计算组合数C(n_i, k_i) mod p。 3. 将所有结果相乘再mod p得到最终结果。 可能还需要提到如何处理n_i < k_i的情况,这时候组合数为0,整个乘积也为0,因此直接返回0。 然后,给出一个具体的例子,比如计算C(12, 5) mod 3。将12和5转换为3进制,得到12=110_3,5=12_3。然后对应每一位的组合数:C(1,1)=1,C(1,2)=0(因为1<2),所以结果为1*0=0 mod 3。但这里可能需要注意位数对齐的问题,可能需要补前导零,比如5在3进制下是12,而12在3进制下是110,位数不同,所以需要将5补为012。然后每位组合数分别是C(1,0)=1,C(1,1)=1,C(0,2)=0,所以乘积是1*1*0=0。这个例子可能需要更详细地说明步骤,避免混淆。 接下来,可能需要给出代码示例,比如用递归或迭代的方式实现Lucas定理。代码部分需要用Python展示,并注意语法正确。例如,一个递归实现的Lucas函数,其中comb函数用于计算小规模的组合数mod p,可能需要预处理阶乘和逆元来提高效率。 此外,需要指出Lucas定理的限制,比如p必须是质数,如果p不是质数,则需要使用其他方法如中国剩余定理分解模数。这可能关联到引用[2]中提到的梅森素数判断中的模运算问题,但用户的问题中没有提到,所以可能不需要深入展开。 最后,生成相关问题需要考虑用户可能的后续疑问,比如Lucas定理的扩展应用、与其他定理(如中国剩余定理)的结合使用、处理非质数模数的方法、算法的时间复杂度以及优化技巧等。例如: 1. Lucas定理能否处理模数为合数的情况? 2. 如何结合中国剩余定理处理大数组合数取模? 3. 有没有比Lucas定理更高效的组合数取模算法? 4. Lucas定理的递归实现和迭代实现哪种更好? 需要确保这些问题与Lucas定理相关,并且能引导用户进一步深入学习。 总结,回答的结构应该包括定理的表述、证明思路、应用方法、实例演示、代码实现、应用场景以及相关问题。需要确保所有数学公式正确使用$...$或$$...$$,引用文献适当,并且回答符合用户要求的结构清晰和真实可靠。</think>### Lucas定理详解 Lucas定理是数论中用于高效计算组合数取模的重要工具,尤其适用于模数$p$为质数的情况。其核心思想是将大数分解为$p$进制各位的组合数乘积,从而降低计算复杂度[^3]。 #### 定理表述 设$p$为质数,$m,n$为非负整数,将其表示为$p$进制展开: $$ m = m_kp^k + m_{k-1}p^{k-1} + \dots + m_0 \\ n = n_kp^k + n_{k-1}p^{k-1} + \dots + n_0 $$ 则组合数满足: $$ \binom{m}{n} \equiv \prod_{i=0}^k \binom{m_i}{n_i} \pmod{p} $$ 若存在某位$n_i > m_i$,则$\binom{m}{n} \equiv 0 \pmod{p}$[^1]。 #### 证明思路 1. **多项式展开**:利用二项式定理展开$(1+x)^m$,在模$p$环境下分析系数 2. **生成函数分解**:将$(1+x)^m$分解为$p$进制各位的乘积形式 3. **系数对应**:通过比较系数得到组合数的分解关系 #### 应用步骤 以计算$\binom{12}{5} \mod 3$为例: 1. **转换进制**:$12=1\cdot3^2 + 1\cdot3^1 + 0\cdot3^0$,$5=0\cdot3^2 +1\cdot3^1 +2\cdot3^0$ 2. **逐位计算**: - $\binom{1}{0}=1$ - $\binom{1}{1}=1$ - $\binom{0}{2}=0$ 3. **结果相乘**:$1\times1\times0 \equiv 0 \mod 3$ #### 代码实现 ```python def comb(n, k, p): if k > n: return 0 # 预计算阶乘和逆元更高效 numerator = 1 for i in range(k): numerator = numerator * (n-i) % p denominator = 1 for i in range(1, k+1): denominator = denominator * i % p return numerator * pow(denominator, p-2, p) % p # 费马小定理求逆元 def lucas(n, k, p): if k == 0: return 1 return comb(n%p, k%p, p) * lucas(n//p, k//p, p) % p ``` #### 应用场景 - **算法竞赛**:处理$n,k$极大(如$10^{18}$)的组合数取模问题 - **密码学**:构造特定数学结构的加密算法 - **概率计算**:大样本空间下的离散概率计算
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