【题解】SP5973 Selecting Teams(3.30模拟赛T1)-优快云博客

本文针对一个具体的组合数学问题，提出了一种高效求解方法。通过对题目进行逐步解析，简化了复杂的组合公式，并通过利用模数特性进一步优化了算法的时间复杂度。

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题意

有 $n $ 个不同的物品，在其中选出不多于 $k $ 个，再从选出的 $m $ 个中选择 $l $ 个，并从 $l $ 个中选出1个，给定 $n $ 和 $k $ ，求总情况数对 $2^{25}$ 取模（具体模数不同，但都是2的整数次幂）。

思路

各位巨佬一上来就是一串简洁易懂的理解，像我这种蒟蒻只能老老实实手推式子。

首先按照题意写出式子：
$ans=\sum_{m=1}^{k}(C_{n}^{m}\times (\sum_{i=1}^{m}C_{m}^{i}\times i))$
我们从内向外化简，先考虑化简 $∑i=1mCmi∗i\sum\limits_{i=1}^{m}C_m^i*i$ 。

考场上手推40分钟结果如下：
$$
\begin{align}
\sum_{i=1}^{m}C_mi*i &= C_m^1+2C_m2+ \cdots +(m-1)C_m^{m-1}+mC_mm \
&= C_m^1+2C_m2+ \cdots +(\frac{m}{2}C_m^{\frac{m}{2}}) +\cdots +(m-1)C_m^{1}+m \

\end{align}
$$
此处运用了 $C_n^m=C_n^{n-m}$ 这一公式。

接着我们按 $m $ 的奇偶性进行分析。

若 $m$ 为奇数：
$KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ 原式 &=m\times(C…$
若 $m$ 为偶数
$KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ 原式 &=m\times(C…$
结果神奇的事情发生了： $m $ 不论奇偶，最后的式子是一样的！！！

于是最终的答案就变为了：
$\sum_{m=1}^{k}(C_{n}^{m}\times m\times 2^{m-1})$
然后我们发现：时间复杂度变成了 $O (k T)$ ，还是爆炸了！！！

然后我们发现题目的模数有点奇怪：为啥是2的整数次幂？

结合推出的式子，我们发现当 $m$ 大于给定的次幂时，由于 $2^{m-1}$ 这一项的存在，原式对模数取模后一定为0！

于是我们可以仅仅枚举到 $m i n (k, 25)$ 即可（以模拟赛给定的模数为例）。

于是可以把总复杂度限制在 $O (30 T)$ 之内。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define P 33554432
using namespace std;

ll C[100005][27];

void init(){
	C[0][0] = 1;
	for(int i = 1; i <= 100000; i++){
		C[i][0] = 1;
		for(int j = 1; j <= 25; j++){
			C[i][j] = (C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%P;
		}
	}
}

int main()
{
	freopen("love.in", "r", stdin);
	freopen("love.out", "w", stdout);
	init();
	int t;
	cin >> t;
	int n, k;
	ll ans;
	while(t--){
		ans = 0;
		scanf("%d%d", &n, &k);
		k = min(k, 25);
		for(int i = 1; i <= k; i++){
			ans = (ans + C[n][i]*(ll)i%P*(1ll<<(i-1))%P) % P;
		}
		printf("%d\n", ans);
	}
	
	return 0;
}