acobian矩阵与Hessian矩阵与最小二乘

最新推荐文章于 2023-08-07 23:03:43 发布
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分类专栏： 算法
本文深入探讨了Jacobian矩阵和Hessian矩阵的概念及其在数学优化中的应用，解析了这两种矩阵如何帮助我们理解多元函数的性质，以及它们在求解最小二乘问题中的关键作用。

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信息矩阵、hessian矩阵与协方差矩阵
weixin_41469272的博客
02-23 2067
由此，我们便可以具体看出hessian矩阵与协方差矩阵之间的联系，当我们需要边缘化marginalize一个变量时，可以将信息矩阵求逆转化为相关的协方差矩阵，然后剔除掉变量后，再次求逆得到新的信息矩阵。如此我们可以将问题转化为一个最小二乘问题，同时我们看出信息矩阵与协方差的数学意义。本节探讨信息矩阵、hessian矩阵与协方差矩阵的关系，阐明边缘化的原理。，提取与b无关的矩阵A，再对A求逆，即得到marg 后的信息矩阵。以Marg b为例：需要先将信息矩阵(此例中为。)求逆，得协方差矩阵。
海塞矩阵（Hessian matrix）全解
笔记
12-20 8415
通过计算图和链式法则，自动微分可以高效地计算出函数 f 对于输入变量 x 和 y 的导数，同理基于f’(x)和f’(y)，求二阶导数，而无需手动推导导数表达式。因此，在实际应用中需要综合考虑问题的特点来选择合适的优化算法和方法。在这个示例中，我们使用Autograd库来计算函数 ( f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2 ) 的一阶导数和二阶导数，并将其组合成海塞矩阵。其中，(*) 表示乘法操作，(+) 表示加法操作，(x) 和 (y) 分别表示输入的变量 x 和 y，(f) 表示函数的输出。
雅克比矩阵、海森矩阵与非线性最小二乘间的关系与在SFM和Pose Estimation中的应用
u011494690的专栏
01-29 5180
近期，在研究SFM和pose estimation时时常接触到这三个词，刚开始不太明白他们间的关系，现将他们整理一下。欢迎吐槽，有什么不对的地方欢迎指正！    首先，介绍一下三个词的数学定义与含义： 雅可比矩阵  假设F:Rn→Rm 是一个从欧式n维空间转换到欧式m维空间的函数。这个函数由m个实函数组成: y1(x1,...,xn), ..., ym(x1,...,xn). 这
全面讲解最小二乘法
bulletstart的博客
08-07 997
常见的最小二乘法我们就不多说了，下面主要介绍一下最小二乘法的一些先进方法。
深入浅出最优化(6) 最小二乘问题的特殊方法
weixin_43441742的博客
05-14 1293
1 基本数学表达 在前面3节中，我们使用了不同下降方法来求解同一个非线性最小二乘问题，但其实非线性最小二乘问题只是这些下降方法能够求解的问题当中的一个特例。接下来要介绍的方法，将是专门针对非线性最小二乘问题设计的，具有非常优良的相性。由于非线性最小二乘问题的应用广泛，这个方法的介绍也是尤为重要的。 下面来看一些基本的数学表达： 梯度：g=∇f(x)g=\nabla f(x)g=∇f(x) 黑森矩阵：G=∇2f(x)G=\nabla^2 f(x)G=∇2f(x) 雅可比矩阵：J(x)=[∂y1∂x
Hessian海森矩阵与牛顿最优化方法
weixin_39901859的博客
10-05 894
Hessian矩阵 在数学中, 海森矩阵(Hessian matrix或Hessian)是一个自变量为向量的实值函数的二阶偏导数组成的方块矩阵, 此函数如下： f(x1,x2…,xn)f({x_1},{x_2} \ldots ,{x_n})f(x1​,x2​…,xn​) 如果fff的所有二阶导数都存在, 那么fff的海森矩阵即： H(f)ij(x)=DiDjf(x)H{(f)_{ij}}(x) =...
机器学习笔记----最小二乘法
YOULANSHENGMENG的博客
03-18 1224
一，参考的博文 如何理解最小二乘法？_马同学图解数学的博客-优快云博客_最小二乘法 机器学习应该准备哪些数学预备知识？ - 知乎 什么是「最小二乘法」_remeber6666的博客-优快云博客 二，什么是最小二乘法 最小二乘法主要用于解决函数模型最优解问题 法国数学家，阿德里安-馬里·勒讓德（1752－1833，这个头像有点抽象）提出让总的误差的平方最小的就是真值。 这就是最小二乘法，即： 使用下面的例子进行讲解： 最小二乘法是这样，要尽全力让这条直线最接近这些点 ...
Hessian矩阵以及在血管增强中的应用—OpenCV3和c++版本代码工程
03-02
Hessian矩阵是图像处理和计算机视觉领域中一个重要的数学工具，尤其在特征检测和结构分析中扮演着关键角色。在本项目中，它被应用于血管增强，这是一个在医学成像和图像分析中常见的任务，目的是突出血管结构，以...
matlab 高斯牛顿迭代求最小二乘问题
02-19
其基本思想是每次迭代中近似目标函数的Hessian矩阵为Jacobian矩阵的转置与Jacobian矩阵的乘积，其中Jacobian矩阵描述了目标函数关于参数的局部线性变化。这种近似使得高斯-牛顿法计算更为简便，因为Hessian矩阵的...
Jacobian矩阵和Hessian矩阵.pdf
12-31
雅各比矩阵和Hessian矩阵是深度学习和数值计算中十分重要的概念。雅各比矩阵可以看作是多元函数微分的推广，它描述了多元函数在某点的局部线性逼近。Hessian矩阵则是雅各比矩阵的推广，它包含了多元函数的二阶偏导数...
吃瓜教程 —— 第三章
m0_57726052的博客
05-23 1879
三. 线性模型 1. 初识机器学习 1.1 基本术语 1.2 建立关于“预测”的模型任务 当预测对象为离散值，称为“分类”任务；当预测对象为连续值，称为“回归”任务； 当预测对象涉及两个，称为“二分类”任务，其中一个为“正类”，另一个为“反类”；当预测对象为多个时，称为“多分类”任务； 将数据集中的数据分成若干组，每组称为一个“簇”，即聚类任务。 1.3 学习任务的分类（按照训练集是否拥有标记信息分类） 监督学习 —— 分类与回归的代表 无监督学习 —— 聚类的代表 1.4 科学推理的两大基本手段
最小二乘法的矩阵形式推导
fengying__的博客
01-23 4719
最小二乘法是一种基本的线性回归方法，现总结其矩阵形式的推导。 优化目标 minxf(x)=∣∣Ax−B∣∣22\mathop{min}\limits_{\mathbf{x}}f(\mathbf{x})={||\mathbf{Ax-B||}_2^2}xmin​f(x)=∣∣Ax−B∣∣22​ 第一步： l2范式展开 f(x)=(Ax−B)T(Ax−B)=xTATAx−BTAx−xTATB+BTB=xTATAx−2BTAx+BTB \begin{aligned} f(\mathbf{x}) &= \ma
SLAM基础——最小二乘
雨落凡城的博客
07-20 1468
1 ???? 概念入门：最小二乘估计（LSE） 最小二乘估计，简写为LSE(Leart Squares Estimate） 1-1 ???? 最小二乘模型的引出 线性模型如下： Y=AX+ε \mathbf{Y}=\mathbf{A} \boldsymbol{X}+\boldsymbol{\varepsilon} Y=AX+ε 其中： Y=(y1,y2,…,yn)T\mathbf{Y}=\left(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}\right)^{T}Y=(y1​,y2​,…,
数值优化（Numerical Optimization）学习系列-最小二乘问题（Least-Squares）
fangqingan_java的专栏
12-27 1万+
概述 最小二乘问题在实际应用中非常广泛，也是无约束最优化问题的重要应用之一，但是对于该问题还有一些特殊的求解思路，供参考。该小结主要介绍： 问题定义 线性最小二乘问题以及求解 非线性最小二乘问题以及求解 总结 最小二乘问题 描述 最小二乘问题泛指具有如下形式的问题minf(x)=12∑j=1...mr2j(x)min f(x)=\frac12 \su
最小二乘法的一般形式和矩阵形式原理推导和代码实现
poxiaozhuimeng的专栏
11-14 1万+
转自：作者：金良（golden1314521@gmail.com） csdn博客：http://blog.youkuaiyun.com/u012176591 1.线性代数模型 首先给出最小二乘解的矩阵形式的公式： 推导过程： 条件： 矩阵必须是列满秩矩阵，否则的逆就不会存在。 若A为m×n的矩阵，b为m×1的矩阵，则Ax=b表达了一个线性方程组，
线性回归算法梳理
Cool_Pepsi的博客
03-28 2199
线性回归算法梳理1. 机器学习的一些概念1.1 有监督1.2 无监督1.3 泛化能力1.4 过拟合和欠拟合1.4.1 过拟合1.4.2 欠拟合1.5 方差和偏差1.6 交叉验证2. 线性回归的原理3. 线性回归损失函数、代价函数、目标函数3.1 损失函数功能快捷键合理的创建标题，有助于目录的生成如何改变文本的样式插入链接与图片如何插入一段漂亮的代码片生成一个适合你的列表创建一个表格设定内容居中、居...
xgboost算法_Hessian矩阵在XGBoost算法的应用小结
weixin_39732506的博客
12-12 366
前言Hessian矩阵最常见的应用是牛顿法最优化算法，其主要思想是搜寻一阶导数为0的函数极值点，本文深入浅出的总结了Hessian矩阵在XGboost算法中的两种应用，即权重分位点算法和样本权重和算法 。目录Hessian矩阵的定义样本权重和算法权重分位点算法总结1.Hessian矩阵的定义Hessian矩阵(Hessian matrix或Hessian)是一个自变量为向量的实值函数的二...
海塞矩阵的定义
llw01的专栏
07-12 8457
在数学中，海塞矩阵（Hessian matrix 或 Hessian）是一个自变量为向量的实值函数的二阶偏导数组成的方块矩阵，此函数如下： 如果 f 所有的二阶导数都存在，那么 f 的海塞矩阵即： H(f)ij(x) = DiDjf(x) 其中  ，即 二阶偏导数矩阵也就所谓的海赛矩阵(Hessian matrix) 一元函数就是二阶导，多元函数就是二阶偏导组
牛顿法与Hessian矩阵
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跟随技术的脚步-linolzhang的专栏
03-03 3万+
牛顿法 主要有两方面的应用： 1. 求方程的根； 2. 求解最优化方法； 一. 为什么要用牛顿法求方程的根？        问题很多，牛顿法 是什么？目前还没有讲清楚，没关系，先直观理解为 牛顿法是一种迭代求解方法（Newton童鞋定义的方法）。        假设 f(x) = 0 为待求解方程，利用传统方法求解，牛顿法求解方程的公式： f(x0+Δx) = f(x0
最小二乘矩阵推导
最新发布
05-09
### 最小二乘法的矩阵推导过程 最小二乘法是一种常用的优化方法，其目标是最小化误差平方和。在线性回归问题中，假设我们有一组数据 $(A, b)$，其中 $ A \in \mathbb{R}^{m \times n}, m \geq n $ 是设计矩阵，$ b \in \mathbb{R}^m $ 是观测向量，我们的目标是找到一个参数向量 $ x \in \mathbb{R}^n $ 来使残差平方和最小。 #### 定义目标函数 定义目标函数为： $$ f(x) = \|Ax - b\|^2_2 = (Ax - b)^T(Ax - b) $$ 展开该表达式可以得到： $$ f(x) = x^TA^TAx - 2b^TAx + b^Tb $$ 这里的目标是最小化 $ f(x) $ 的值[^1]。 #### 计算梯度并令其等于零 为了寻找最优解，计算目标函数关于 $ x $ 的梯度，并将其设为零： $$ \nabla_x f(x) = 2A^TAx - 2A^Tb = 0 $$ 简化可得正规方程： $$ A^TAx = A^Tb $$ 当 $ A^TA $ 可逆时，可以直接求解得到： $$ x = (A^TA)^{-1}A^Tb $$ 这是线性最小二乘问题的解析解[^2]。 #### 验证 Hessian 矩阵正定性 进一步验证此解是否为极小值点，可以通过检查 Hessian 矩阵来完成。Hessian 矩阵表示为目标函数的二次偏导数矩阵，在本例中为： $$ H = \frac{\partial^2 f(x)}{\partial x \partial x^T} = 2A^TA $$ 由于 $ A^TA $ 是半正定矩阵，因此整个 Hessian 矩阵也是正定的（前提是 $ A^TA $ 满秩），从而说明所求解确实是一个全局极小值点[^1]。 以下是实现这一公式的 Python 示例代码： ```python import numpy as np def least_squares(A, b): AT = A.T ATA_inv = np.linalg.inv(AT @ A) solution = ATA_inv @ AT @ b return solution # Example usage: A = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]]) b = np.array([1, 2, 3]) result = least_squares(A, b) print(result) ```
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