牛顿法与Hessian矩阵

       牛顿法 主要有两方面的应用：

1. 求方程的根；

2. 求解最优化方法；

一. 为什么要用牛顿法求方程的根？

       问题很多，牛顿法 是什么？目前还没有讲清楚，没关系，先直观理解为 牛顿法是一种迭代求解方法（Newton童鞋定义的方法）。

        

       假设 f(x) = 0 为待求解方程，利用传统方法求解，牛顿法求解方程的公式：

f(x0+Δx) = f(x0) + f′(x0) Δx

即 f(x) = f(x0) + f′(x0) (x-x0)

       公式可能大家会比较熟悉，一阶泰勒展式，f′(a) 表示 f(x) 在 x0 点的斜率 （这个很好理解），当X方向增量（Δx）比较小时，Y方向增量（Δy）可以近似表示为 斜率（导数）*X方向增量（f′(x0) Δx） ，令 f(x) = 0，我们能够得到 迭代公式：

x = x0 - f(x0) / f′(x0)    =>   xn+1 = xn - f(xn) / f′(n)

       通过逐次迭代，牛顿法 将逐步逼近最优值，也就是方程的解。

二. 扩展到最优化问题

       这里的最优化 是指非线性最优化，解非线性最优化的方法有很多，比如 梯度下降法、共轭梯度法、变尺度法和步长加速法 等，这里我们只讲 牛顿法。

       针对上面问题进行扩展：

       解决 f(x) = 0 的问题，我们用了一阶泰勒展开：

f(x) = f(x0) + f'(x0)*(x-x0) + o( (x-x0)^2 )

           去掉末位高阶展开项，代入x = x0+Δx，得到：

f(x) = f(x0+Δx) = f(x0) + f′(x0) Δx

       那么 要解决 f′(x) = 0 的问题，我们就需要二阶泰勒展开：

f(x) = f(x0) + f'(x0)*(x-x0) + 0.5*f''(x0)*(x-x0)^2 + o( (x-x0)^3 )

           去掉末位高阶展开项，代入x = x0+Δx，得到：

f(x) = f(x0+Δx) = f(x0) + f′(x0)Δx + 0.5 * f′′(x0) (Δx)^2

       求导计算： f′(x) = f'(x0+Δx) = 0，得到：

 [ f(x0) + f′(x0)(x−x0) + 0.5 f′′(x0)(x−x0)^2 ]′ = 0

       整理：

 f′(x0) + f′′(x0)(x−x0) = 0

x = x0 − f′(x0) / f′′(x0)   =>  xn+1 = xn - f'(xn) / f'′(xn)

       牛顿法 一图总结为：

        

三. 牛顿法 与 Hessian矩阵的关系

       以上牛顿法的推导 是针对 单变量问题，对于多变量的情况，牛顿法 演变为：

        

      与上面的单变量表示方式类似，需要用到变量的 一阶导数 和 二阶导数。

      其中 J 定义为 雅克比矩阵，对应一阶偏导数。

        

      H 为 Hessian矩阵，对应二阶偏导数。

        

       网上也能搜到类似的公式表达，也列出来：

        

       牛顿法 在多变量问题上仍然适用迭代求解，但Hessian矩阵的引入增加了复杂性，特别是当：

▪ Hessian 矩阵非正定（非凸）导致无法收敛；

▪ Hessian 矩阵维度过大带来巨大的计算量。

       针对这个问题，在 牛顿法无法有效执行的情况下，提出了很多改进方法，比如 拟牛顿法（Quasi-Newton Methods）可以看作是牛顿法的近似。

       拟牛顿法 只需要用到一阶导数，不需要计算Hessian矩阵 以及逆矩阵，因此能够更快收敛，关于 拟牛顿法 这里不再具体展开，也有更深入的 DFP、BFGS、L-BFGS等算法，大家可以自行搜索学习。

       总体来讲，拟牛顿法 都是用来解决 牛顿法 本身的 复杂计算、难以收敛、局部最小值等问题。