四、BLDC矢量控制基础知识：dq轴电压方程

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#学习

于 2022-12-08 17:15:47 首次发布

dq轴方程推导

通过阅读各种资料，将学到的关于dq轴方程的知识整理一下，并自己推导了一遍dq轴方程。

文章目录

dq轴方程推导
前言
一、原始电压方程
二、对电压方程进行Clarke变换
三、继续对电压方程进行Park变化
四、获得 $d q$ 轴电压方程
总结

前言

之前的对dq轴方程的理解有误，推导出的dq轴电压方程 $L_d=L_q$ ，后来学习凸极效应，它将导致 $L_d<L_q$ 。这里将学到的知识加以整理归纳并自行推导一遍dq轴的电压方程，以便真正掌握它。

一、原始电压方程

$\begin{bmatrix}u_a\\u_b\\u_c\end{bmatrix} =R_s\begin{bmatrix}i_a\\i_b\\i_c\end{bmatrix} +\frac{d}{dt}\left\{\begin{bmatrix}L_{aa}&M_{ab}&M_{ac}\\M_{ba}&L_{bb}&M_{bc}\\M_{ca}&M_{cb}&L_{cc}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_a\\i_b\\i_c\end{bmatrix}\right\} +\frac{d}{dt}\begin{bmatrix}ψ_{fa}\\ψ_{fb}\\ψ_{fc}\end{bmatrix}$
其中被微分的两项分别代表电流和永磁体的磁场。 $ψ_{fa},ψ_{fb},ψ_{fc}$ 是永磁体转子在三相线圈上的磁链分量。
为方便书写用黑体表示矩阵，电感矩阵的负号定义请参考《三、BLDC矢量控制基础知识：三相线圈的电感矩阵》：
$\bm{L=L_{s0}-L_{s2}}$ 表示总的电感矩阵
$\bm{L_{s0}}$ 表示电感矩阵的常量部分
$\bm{L_{s2}}$ 表示电感矩阵的随电角度变化的部分
则方程简写为：
$\begin{aligned} \bm{u_{abc}=Ri_{abc}+\frac{dLi_{abc}}{dt}+\frac{dψ_{fabc}}{dt}} \end{aligned}$

二、对电压方程进行Clarke变换

上述方程两边进行Clarke变换(注意Clarke变换是常数矩阵)：
$\begin{aligned} &\bm{u_{\alpha\beta}=CRi_{abc}+C\frac{dLi_{abc}}{dt}+C\frac{dψ_{fabc}}{dt}}\\ &=\bm{Ri_{\alpha\beta}+\frac{dCLC^{-1}Ci_{abc}}{dt}+\frac{dψ_{f\alpha\beta}}{dt}}\\ &=\bm{Ri_{\alpha\beta}+\frac{dCLC^{-1}i_{\alpha\beta}}{dt}+\frac{dψ_{f\alpha\beta}}{dt}} \end{aligned}$
下面需要先计算 $\bm{CLC^{-1}}$ 才能往下讨论。
先计算电感常量部分：
$\bm{CL_{s0}C^{-1}} =L_{s0}\bm{C}\begin{bmatrix}1&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&1&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&1\end{bmatrix}\bm{C^{-1}}$
计算的核心是矩阵乘积：
$\begin{aligned} \bm{C}\begin{bmatrix}1&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&1&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&1\end{bmatrix}\bm{C^{-1}} &=\bm{C}\left\{\frac{3}{2}\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}-\frac{1}{2}\begin{bmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{bmatrix}\right\}\bm{C^{-1}}\\ &=\frac{3}{2}\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix} -\frac{1}{2}\bm{C}\begin{bmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{bmatrix}\bm{C^{-1}} \end{aligned}$