六、BLDC矢量控制基础知识：滑膜观测器原理

滑膜观测器原理

这是一篇关于滑膜观测器原理的学习笔记

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前言

当无刷电机使用FOC控制时，需要获得转子位置和角速度信息，当没有传感器的时候，已经有大量的算法用于解决这一问题，有一类处理办法是使用观测器来估计转子的位置，在众多解决方案中滑膜观测器有着广泛的应用。下面将我一个小白从无到有的学习过程分享一下。
这里学习到的滑膜观测器的知识来源于《彻底吃透滑模观测器（PMSM无感算法）（理论精讲+推导+算法+调参+硬件运行）》，感谢大佬的分享。

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一、估计转子位置的基本逻辑，$\alpha ,\beta$坐标系

当没有位置检测传感器的时候，我们需要估计转子的位置等信息。通过查找网上的资料，了解到普遍的做法是在两相静止坐标$\alpha ,\beta$下来估测转子角度。开始我也不太明白是怎么回事，后来过了很久才反应过来，最终理清了其中的逻辑：
首先，我得想明白$\alpha ,\beta$坐标系下的电压电流虽然不是直接可测的，但三相电压电流确实实实在在可测的物理量，我们只需要通过一个Clarke变换就可以得到$\alpha ,\beta$坐标系下的电压电流，而Clarke变换确实与转子角度无关的变换。
其次，由于$\alpha ,\beta$到$dq$坐标就是一个旋转的关系，因此可以利用这层关系估计转子的位置和角速度。

二、从$\alpha ,\beta$电压方程到状态方程

通过前面的努力(参考《五、BLDC矢量控制基础知识：BLDC模型的基本方程》)，我们已经得到$\alpha ,\beta$下的电压：
$\alpha \beta$坐标混合电压方程完整形式：
$$\begin{array}{rl}\left[\begin{array}{c}{u}_{\alpha }\\ u_{\beta }\end{array}\right]& =R\left[\begin{array}{c}{i}_{\alpha }\\ i_{\beta }\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{L}_d& 0\\ 0& L_d\end{array}\right]\frac{d}{dt}\left[\begin{array}{c}{i}_{\alpha }\\ i_{\beta }\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}0& \omega (L_d-L_q)\\ -\omega (L_d-L_q)& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_{\alpha }\\ i_{\beta }\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{E}_{\alpha }\\ E_{\beta }\end{array}\right]\end{array}\dots \dots 1$$
其中：
$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{c}{E}_{\alpha }\\ E_{\beta }\end{array}\right]=(\omega {\psi }_f+(L_d-L_q)(\omega i_d-\frac{d{i}_q}{dt}))\left[\begin{array}{c}-sin\theta \\ cos\theta \end{array}\right]\end{array}\dots \dots 2$$
根据方程1的物理意义，也可以称该项为反电动势项。

在讨论之前，我们可以明显看出方程2可以用来计算转子旋转角度$\theta$。

把方程1写成状态方程的样子：
$$\begin{array}{r}\frac{d}{dt}\left[\begin{array}{c}{i}_{\alpha }\\ i_{\beta }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-\frac{R}{L_d}& -\frac{\omega (L_d-L_q)}{L_d}\\ \frac{\omega (L_d-L_q)}{L_d}& -\frac{R}{L_d}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{i}_{\alpha }\\ i_{\beta }\end{array}\right]+\frac{1}{L_d}\left[\begin{array}{c}{u}_{\alpha }\\ u_{\beta }\end{array}\right]-\frac{1}{L_d}\left[\begin{array}{c}{E}_{\alpha }\\ E_{\beta }\end{array}\right]\end{array}$$

三、滑膜观测器

现代控制理论中，对于不能直接观测的量一般使用观测器进行来估计状态，这里先构造一个用于估计的观测器方程：
$$\begin{array}{r}\frac{d}{dt}\left[\begin{array}{c}{\hat{i}}_{\alpha }\\ {\hat{i}}_{\beta }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-\frac{R}{L_d}& -\frac{\omega (L_d-L_q)}{L_d}\\ \frac{\omega (L_d-L_q)}{L_d}& -\frac{R}{L_d}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\hat{i}}_{\alpha }\\ {\hat{i}}_{\beta }\end{array}\right]+\frac{1}{L_d}\left[\begin{array}{c}{u}_{\alpha }\\ u_{\beta }\end{array}\right]-\frac{1}{L_d}\left[\begin{array}{c}{v}_{\alpha }\\ v_{\beta }\end{array}\right]\end{array}$$

其中：
$\hat{i}$是观测器估计出来的电流
$v$是输入控制量
我们的依据是通过控制开关量$v_{\alpha ,\beta }$，让观测器估计出来的电流${\hat{i}}_{\alpha ,\beta }$趋向于$i_{\alpha ,\beta }$，那么平均来看，可能应该有$v_{\alpha ,\beta }\to E_{\alpha ,\beta }$吧。

为了仔细分析观测器的行为，我们用下面的式子和上面的式子相减，并记$\tilde{i}=\hat{i}-i$，表示观测器控制得到的电流和实际电流的差值。则得到下面的式子：
$$\begin{array}{r}\frac{d}{dt}\left[\begin{array}{c}{\tilde{i}}_{\alpha }\\ {\tilde{i}}_{\beta }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-\frac{R}{L_d}& -\frac{\omega (L_d-L_q)}{L_d}\\ \frac{\omega (L_d-L_q)}{L_d}& -\frac{R}{L_d}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\tilde{i}}_{\alpha }\\ {\tilde{i}}_{\beta }\end{array}\right]+\frac{1}{L_d}\left[\begin{array}{c}{E}_{\alpha }-v_{\alpha }\\ E_{\beta }-v_{\beta }\end{array}\right]\end{array}\dots \dots 3$$
首先可以看到，如果已经有，${\tilde{i}}_{\alpha ,\beta }=0$，则真的有$v_{\alpha ,\beta }\to E_{\alpha ,\beta }$。
观察上述方程，如果对控制原理有所了解，一定可以注意到：要达到我们的目的，需要一个策略把${\tilde{i}}_{\alpha ,\beta }$控制在0附近了。这里采用一个非常暴力的控制方法(也可以说成是鲁棒性很强的控制)：
1.如果观测器估计的电流${\hat{i}}_{\alpha ,\beta }$大于了实际电流$i_{\alpha ,\beta }$，则我们给出足够大的负向控制量，这个控制量将把${\hat{i}}_{\alpha ,\beta }$的微分变成负的，从而试图把估计电流降低到实际电流处。
2.如果观测器估计的电流${\hat{i}}_{\alpha ,\beta }$小于了实际电流$i_{\alpha ,\beta }$，则我们给出足够大的正向控制量，这个控制量将把${\hat{i}}_{\alpha ,\beta }$的微分变成正的，从而试图把估计电流提升到实际电流处。
这个控制方法从概念上理解起来非常直观了，这样的控制方法应该就是滑膜控制了，为什么叫滑膜？可能是因为在相图上控制了相点的滑动方向吧。所以基于这种控制方法的观测器就叫滑膜观测器吧。

作为实际技术的原理，我们需要给出一个实际的滑膜控制方法，并且事先证明它的稳定性。
根据人云亦云做法，我准备设控制输入：
$$\begin{array}{r}\left[\begin{array}{c}{v}_{\alpha }\\ v_{\beta }\end{array}\right]=h\left[\begin{array}{c}sign({\hat{i}}_{\alpha }-i_{\alpha })\\ sign({\hat{i}}_{\beta }-i_{\beta })\end{array}\right]=h\left[\begin{array}{c}sign({\tilde{i}}_{\alpha })\\ sign({\tilde{i}}_{\beta })\end{array}\right]\end{array}\dots \dots 4$$

稳定性证明：
做李亚普洛夫函数：$$V({\tilde{i}}_{\alpha },{\tilde{i}}_{\beta })=\frac{1}{2}({\tilde{i}}_{\alpha }{\tilde{i}}_{\alpha }+{\tilde{i}}_{\beta }{\tilde{i}}_{\beta })$$
显然上述函数是正定的，那么我们来对它求导：
$$\frac{dV}{dt}={\tilde{i}}_{\alpha }\frac{d{\tilde{i}}_{\alpha }}{dt}+{\tilde{i}}_{\beta }\frac{d{\tilde{i}}_{\beta }}{dt}$$
带入3式得到：
$$\begin{array}{rl}& \frac{dV}{dt}=\left[\begin{array}{cc}{\tilde{i}}_{\alpha }& {\tilde{i}}_{\beta }\end{array}\right]\frac{d}{dt}\left[\begin{array}{c}{\tilde{i}}_{\alpha }\\ {\tilde{i}}_{\beta }\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}{\tilde{i}}_{\alpha }& {\tilde{i}}_{\beta }\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-\frac{R}{L_d}& -\frac{\omega (L_d-L_q)}{L_d}\\ \frac{\omega (L_d-L_q)}{L_d}& -\frac{R}{L_d}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\tilde{i}}_{\alpha }\\ {\tilde{i}}_{\beta }\end{array}\right]+\frac{1}{L_d}\left[\begin{array}{cc}{\tilde{i}}_{\alpha }& {\tilde{i}}_{\beta }\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{E}_{\alpha }-v_{\alpha }\\ E_{\beta }-v_{\beta }\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}{\tilde{i}}_{\alpha }& {\tilde{i}}_{\beta }\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-\frac{R}{L_d}& -\frac{\omega (L_d-L_q)}{L_d}\\ \frac{\omega (L_d-L_q)}{L_d}& -\frac{R}{L_d}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\tilde{i}}_{\alpha }\\ {\tilde{i}}_{\beta }\end{array}\right]+\frac{1}{L_d}\left[\begin{array}{cc}{\tilde{i}}_{\alpha }& {\tilde{i}}_{\beta }\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{E}_{\alpha }\\ E_{\beta }\end{array}\right]-\frac{1}{L_d}\left[\begin{array}{cc}{\tilde{i}}_{\alpha }& {\tilde{i}}_{\beta }\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{v}_{\alpha }\\ v_{\beta }\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}{\tilde{i}}_{\alpha }& {\tilde{i}}_{\beta }\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-\frac{R}{L_d}& -\frac{\omega (L_d-L_q)}{L_d}\\ \frac{\omega (L_d-L_q)}{L_d}& -\frac{R}{L_d}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\tilde{i}}_{\alpha }\\ {\tilde{i}}_{\beta }\end{array}\right]+\frac{1}{L_d}\left[\begin{array}{cc}{\tilde{i}}_{\alpha }& {\tilde{i}}_{\beta }\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{E}_{\alpha }\\ E_{\beta }\end{array}\right]-\frac{h}{L_d}({\tilde{i}}_{\alpha }sign({\tilde{i}}_{\alpha })+{\tilde{i}}_{\beta }sign({\tilde{i}}_{\beta }))\end{array}\dots \dots 5$$

观察5式，它右边前两项都是有限项，而第三项括号中无论何总情况都是正数，所以只要h足够大，我们就可以使得整个式子为负定的，这个控制系统是渐进稳定的。
也就是随着我们控制的进行，一定有${\hat{i}}_{\alpha ,\beta }\to i_{\alpha ,\beta }$，我们的想法就得以实现，具体的h值确定，可以依据5式来估计。

我们还有我们从3式，得到$v_{\alpha ,\beta }\to E_{\alpha ,\beta }$，但我们实际的控制方式式开关控制(4式)，所以并不能完全得到这个关系，我们只能说$v_{\alpha ,\beta }$对时间取平均值后$\to E_{\alpha ,\beta }$，就像PWM调制那样。不过这已经不是什么大的问题了，不是吗？

四、关于观测方程中的角速度的疑问

到目前为止我们已经理清了获取反电动势$E_{\alpha ,\beta }$的步骤，这样就可以通过各种手段获得$\hat{\theta },\hat{\omega }$。
但回过头仔细审查我们建立的观测器的过程，观测器方程还是知道电角速度$\omega$。呃咋办？？？
首先当使用表贴的电机时，有$L_d=L_q$，观测器方程中不会要求使用$\omega$，上面的理论肯定是有效的。
问题在于使用凸极电机时，$L_d\ne L_q$，观测器方程会使用$\omega$，这样就麻烦了。当然我们仍然可以使用估计的角速度$\hat{\omega }$来计算观测器方程，这时观测器方程右边的项会有变化，如下所示：
$$\begin{array}{r}\frac{d}{dt}\left[\begin{array}{c}{\hat{i}}_{\alpha }\\ {\hat{i}}_{\beta }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-\frac{R}{L_d}& -\frac{\hat{\omega }(L_d-L_q)}{L_d}\\ \frac{\hat{\omega }(L_d-L_q)}{L_d}& -\frac{R}{L_d}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\hat{i}}_{\alpha }\\ {\hat{i}}_{\beta }\end{array}\right]+\frac{1}{L_d}\left[\begin{array}{c}{u}_{\alpha }\\ u_{\beta }\end{array}\right]-\frac{1}{L_d}\left[\begin{array}{c}{v}_{\alpha }\\ v_{\beta }\end{array}\right]\end{array}$$

仿效前面的分析过程，我们用它和状态方程相减

通过前面的稳定性分析过程可知，当然和之前一样只要控制增益$h$足够大，控制规律仍然可以保证${\hat{i}}_{\alpha ,\beta }\to i_{\alpha ,\beta }$，但问题在于这样做，如何保证$\hat{\omega }\to \omega$？
希望大牛看到能指点一二。

五、估计角度和角速度

这一点理解起来不难，我们已经得到$v_{\alpha ,\beta }\to E_{\alpha ,\beta }$，那么通过2式用分量相比的方法利用反正切求出角度，并且得到角度后我们通过一定的时间就可以获得角速度。
另外还有类似于PLL的很多其他的方法来解算角度和角速度，这里就不献丑了。

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总结

通过学习滑膜观测器的工作原理，虽然有的地方还有一定的疑问，但大体上已经理解的整个观测器的运行原理。