中值定理7----不等式证明

题型：不等式证明

一阶导数大于0，原函数递增
二阶导数大于0，一阶导数递增

例题1. 已知:$e<a<b$,请你证明:$a^b<b^a$

证：

$a^b<b^a⟺b\ln a-a\ln b>0$

1.构造辅助函数:
$f(x)=x\ln a-a\ln x,f(a)=0$

注解:一般把大的替换成x，小的保留，题目条件中给出b>a,所以保留a替换b

2.辅助函数求导
$f^{\prime }(x)=\ln a-\frac{a}{x}>0(x>a)$

注解：
因为b被替换成了x，所以原题目中的b>a条件变成了x>a,所以$\frac{a}{x}<1$.
因为$\ln e=1,题目已知条件a>e,所以\ln a>1$
$⟹\ln a-\frac{a}{x}>0$

$\{\begin{array}{l}f(a)=0\\ f^{\prime }(x)>0\end{array}\Rightarrow f(x)>0(x>0)$

注解：$f(a)=0.那么f(a+1)>0,也就是比a大的数代入进函数都能大于0，因为f^{\prime }(x)>0说明这个函数的单调递增的$

$\because b>a$
$\therefore$