中值定理3----证明结论中有双中值(ξ,η)题型的一般解题步骤

证明结论中有双中值($\xi ,\eta$)题型的一般解题步骤

题型一：仅有$f^{\prime }(\xi ).f^{\prime }(\eta )$的情况

1.找三点
2.使用两次拉格朗日中值定理

构造辅助函数：$h(x)=f(x)-\Delta ，其中\Delta 为要证的结论$

$$\begin{gathered} 例题1：f(x)\in C[0,1],(0,1)内可导,f(0)=0,f(1)=1.请证明: \\ (1).\exists c\in (0,1),f(c)=\frac{1}{2} \\ (2)\exists \xi ,\eta \in (0,1),\frac{1}{f^{\prime }(\xi )}+\frac{1}{f^{\prime }(\eta )}=2 \end{gathered}$$

证：
1°构造辅助函数$h(x)=f(x)-\frac{1}{2}$
$h(0)=-\frac{1}{2}$
$h(1)=\frac{1}{2}$
$\because h(0)h(1)<0,根据零点定理可得$
$\exists c\in (0,1)使h(c)=0⟹f(c)=\frac{1}{2}$
2° 根据三点$h(0),h(1),f(c)$使用两次拉格朗日中值定理
$\exists \xi \in (0,c),\eta \in (c,1)$使得
$$f^{\prime }(\xi )=\frac{f(c)-f(0)}{c-0}=\frac{1}{2c}{f}^{\prime }(\eta )=\frac{f(1)-f(c)}{1-c}=\frac{1}{2(1-c)}$$
$$\frac{1}{f^{\prime }(\xi )}=2c\frac{1}{f^{\prime }(\eta )}=2(1-c)$$
$⟹2c+2(1-c)=2$
$\therefore \frac{1}{f^{\prime }(\xi )}+\frac{1}{f^{\prime }(\eta )}=2$

题型二：$\xi ,\eta 复杂度不同的情况$

1.留复杂，单独把复杂的函数拿出来，其它的全部忽略

复杂等级：平方>相乘>相加

2.还原该复杂函数会出现两种情况
$$\{\begin{array}{l}\frac{(\Delta {)}^{\prime }}{(\eta {)}^{\prime }}⟹柯西定理\\ (\Delta {)}^{\prime }⟹拉格朗日定理\end{array}$$

$$\begin{gathered} 例题：f(x)\in C[a,b],(a,b)内可导,a>0. \\ 证：\exists \xi ,\eta \in (a,b).f^{\prime }(\xi )=(a+b)\frac{f^{\prime }(\eta )}{2\eta } \end{gathered}$$

解：
1° 留复杂,很明显$\frac{f^{\prime }(\eta )}{2\eta }$为复杂函数，分析该函数：
$$\frac{f^{\prime }(\eta )\stackrel{\text{还原}}{⟹}f(x)}{2\eta \stackrel{\text{还原}}{⟹}{x}^2}$$
可以发现这个是属于$\frac{(\Delta {)}^{\prime }}{(\eta {)}^{\prime }}$的类型，所以使用柯西定理
2° 构造辅助函数，令$g(x)=x^2,则g^{\prime }(x)=2x̸=0$
使用柯西定理$\exists \eta \in (a,b).使\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(\eta )}{g^{\prime }(\eta )}$
3° 代入至辅助函数
$$\frac{f(b)-f(a)}{b^2-a^2}=\frac{f^{\prime }(\eta )}{2\eta }\stackrel{\text{两边同乘(a+b)}}{⟹}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=(a+b)\frac{f^{\prime }(\eta )}{2\eta }$$
4° 使用拉格朗日定理

$\exists \xi \in (a,b)使f^{\prime }(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

$\because \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=(a+b)\frac{f^{\prime }(\eta )}{2\eta }$

$\therefore f^{\prime }(\xi )=(a+b)\frac{f^{\prime }(\eta )}{2\eta }$