中值定理5-泰勒中值定理

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本文详细介绍了泰勒中值定理，包括其条件、结论及应用，并通过例题展示了如何利用泰勒展开公式求解极限问题。此外，还列举了常用的泰勒级数展开公式，如指数函数、三角函数等。

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泰勒中值定理

条件： $f(x)在x=x_0领域内(n+1)$ 阶可导

结论： $f(x)=Pn(x)+Rn(x)⟶Pn(x)为主项，Rn(x)为次项f(x)=P_n(x)+R_n(x) \longrightarrow P_n(x)为主项，R_n(x)为次项$

$Pn(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2+...+f(n)(x0)n!(x−x0)n\LARGE P_n(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$

$\huge R_n(x)= \begin{cases} \frac{f^{(n+1)(\xi)}}{(n+1)!} \Longrightarrow 拉格朗日型预项 \\ o((x-x_0)^n) \Longrightarrow 皮亚诺型余项 \end{cases}$

麦克劳林公式

$ex=1+x+x22!+x33!+...++xnn!+o(xn)e^x = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...++\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$

$sin⁡x=x−x33!+x55!+...+o(x7)\sin x = x -\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+...+o(x^7)$

$cos⁡x=1−x22!+x44!+...+o(x6)\cos x= 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+...+o(x^6)$

$11−x=1+x+x2+x3+...+xn+o(xn)\frac{1}{1-x} = 1 +x +x^2 +x^3+...+x^n+o(x^n)$

$11+x=1−x+x2−x3+...+(−1)nxn+o(xn)\frac{1}{1+x} = 1-x+x^2-x^3+...+(-1)^nx^n+o(x^n)$

$ln⁡(1+x)=x−x22+x33−x44+o(x4)\ln(1+x) = x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+o(x^4)$

$(1+x)a=1+ax+a(a−1)2!x2+a(a−1)(a−2)3!x3+...+o(x3)(1+x)^a = 1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}x^2+\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^3+...+o(x^3)$

使用泰勒展开公式求极限

$例题1：lim⁡x→0x−sin⁡xx3例题1：\underset{x\to 0}{\lim} \frac{x-\sin x}{x^3}$
解：
1.把 $sin⁡x展开到阶，跟分母同阶\sin x 展开到阶，跟分母同阶$
$原式=lim⁡x→0x−(x−x33!+o(x3))x3=x33!+o(x3)x3原式=\underset{x \to 0}{\lim} \frac{x-(x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3))}{x^3}=\frac{\frac{x^3}{3!}+o(x^3)}{x^3}$