LIS最长上升子序列总结

为了让自己更好的记住学过的知识，我要写博客，将做题中用到的一些方法和一类问题进行总结。

今天做题，碰到了一题关于最长上升子序列的题目，先上题

牛牛现在有一个n个数组成的数列,牛牛现在想取一个连续的子序列,并且这个子序列还必须得满足:最多只改变一个数,就可以使得这个连续的子序列是一个严格上升的子序列,牛牛想知道这个连续子序列最长的长度是多少。

输入描述：

输入包括两行,第一行包括一个整数n(1 ≤ n ≤ 10^5),即数列的长度;
第二行n个整数a_i, 表示数列中的每个数(1 ≤ a_i ≤ 10^9),以空格分割。

输出描述：

输出一个整数,表示最长的长度。

输入例子:

6 
7 2 3 1 5 6

输出例子:

5

对于这类笔试题，目前我也只学习了动态规划、双指针、递归、二分、哈希表、单调队列几个基础方法，具体问题具体分析的能力还得多多锻。用了双指针，可惜只有20%的样例通过，之前没做过LIS的题目，今天先总结一下最长子序列问题（LIS），主要也是以LeetCode上的题目展开，让读到这篇文章的人尽可能的将此问题理解的深点。

LeetCode 300. 最长上升子序列

问题描述

给定一个无序的整数数组，找到其中最长上升子序列的长度。

示例:

输入: [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出: 4
解释: 最长的上升子序列是 [2,3,7,101]，它的长度是 4。

说明:

• 可能会有多种最长上升子序列的组合，你只需要输出对应的长度即可。
• 你算法的时间复杂度应该为 O(n2) 。

进阶: 你能将算法的时间复杂度降低到 O(n log n) 吗?

解决方法
DP动态规划—O(n^2)、二分+贪心法—O(nlogn)、树状数组优化的DP—O(nlogn)

结题思路

最长上升子序列包含的意思

1. 子序列元素在原数组中的下标是有序的，但不是连续的；
2. 子序列元素值是上升的。

主要讲一下dp方法，用dp[i]表示以第i个元素结尾的长上升子序列得长度，例如

dp[0]表示[10]的结果是1；

dp[1]表示[10,9]的结果还是1；

dp[2]表示[10,9,5]的结果还是1；

dp[3]表示[10,9,2,5]的结果是2；

dp[4]表示 [10,9,2,5,3]的结果还是2；

dp[5]表示 [10,9,2,5,3,7]的结果是3；

dp[i]的结果与d[0]~dp[i-1]都有关，我们假设0<=j<=i-1；那么我们能够得到

dp状态转移方程：dp[i]=max(dp[i]，dp[j]+1)；

注意的一点是初始化dp[i]=1；dp的时间复杂度是O(n^2)，因此不算最优。

二分+贪心法—O(nlogn)、树状数组优化的DP—O(nlogn)的思路大家可参考LeetCode 300 。

C++代码

#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>

using namespace std;
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    
    vector<int> res(n);
    for(int i=0;i<n;i++)         
        cin>>res[i];
    
    int ans=0;
    vector<int> dp(n,1);
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        for(int j=0;j<i;j++)  //j代表前res[0]~res[i-1]
        {
            if(res[i]>res[j])  //res[i]>res[j]说明相对于以j结尾的数组的最长子序列又可以增1啦
                dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);   
        }
        ans=max(ans,dp[i]);
    }
    cout<<ans<<endl;
}

LeetCode 128. 最长连续序列

问题描述

给定一个未排序的整数数组，找出最长连续序列的长度。

要求算法的时间复杂度为 O(n)。

示例:

输入: [100, 4, 200, 1, 3, 2]
输出: 4
解释: 最长连续序列是 [1, 2, 3, 4]。它的长度为 4。

解决方法
利用哈希表unordered_set

结题思路

最长上升子序列包含的意思

1. 子序列元素在原数组中的下标是无序的；
2. 子序列元素值是递增加1的。

这题的难点在于规定了时间复杂度为O(n)，那么排序肯定是用不上了。

这里主要讲一下用unordered_set方法，LeetCode上用的都是unordered——map<int,int>，感兴趣的可以去查看一下。

解题思路主要是先将数据放到哈希表中。遍历哈希表，对每一个数据左右两边进行查找哈希表，用到了哈希表的count()函数，存在返回>0，反之返回0。知道左右查查找完毕，且每查找到一个数，则都要将其在哈希表中删除。这样才能保证所有的元素只遍历一次，复杂度是O(n)。

C++代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <unordered_set>
using namespace std;
int main()
{
    int n;
    cin>>n;

    unordered_set<int> myhash;   //建立哈希表
    int value;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        cin>>value;
        myhash.insert(value);
    }

    int ans=1;
    for(auto c:myhash)
    {
        int temp=1;
        for(int j=c-1;myhash.count(j);j--)  //向左遍历
        {
            myhash.erase(j);
            temp++;
        }
        for(int j=c+1;myhash.count(j);j++) //向右遍历
        {
            myhash.erase(j);
            temp++;
        }
        //myhash.erase(c); 不能删除自己，会段错误。
        ans=max(ans,temp);
    }
    cout<<ans;
}

LeetCode 845. 数组中的最长山脉

问题描述

我们把数组 A 中符合下列属性的任意连续子数组 B 称为 “山脉”：

• B.length >= 3

• 存在 0 < i < B.length - 1 使得 B[0] < B[1] < … B[i-1] < B[i] > B[i+1] > … > B[B.length - 1]

  （注意：B 可以是 A 的任意子数组，包括整个数组 A。）

给出一个整数数组 A，返回最长 “山脉” 的长度。

如果不含有 “山脉” 则返回 0。

示例 1：

输入：[2,1,4,7,3,2,5]
输出：5
解释：最长的 “山脉” 是 [1,4,7,3,2]，长度为 5。

示例 2：

输入：[2,2,2]
输出：0
解释：不含 “山脉”。

提示：

​ 0 <= A.length <= 10000
​ 0 <= A[i] <= 10000

解决方法
利用哈希表unordered_set

结题思路

这题的难度不大，不过是最接近牛牛那题的，算是简单版，难的题目其实也都是从简单的过来的，那么难题的解题方法也是从小的方法合起来解决的，所以多多积累知识点还很重要的。

言归正传，这题的主要解法是用双指针，和上一题有点类似，不过这个不用删除元素。因为约束条件要求山脉的长度>3，那么我们的遍历就从：1<=i<=n-2;

C++代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <unordered_set>
#include <vector>
using namespace std;
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    vector<int> res(n);
    for(int i=0;i<n;i++)
        cin>>res[i];

    if ( n< 3)  return 0;

    int ans = 1;
    for (int i = 1; i < res.size() - 1; i++) {
        if (res[i] > res[i - 1] && res[i] > res[i + 1]) {
            int l = i - 1;
            int r = i + 1;
            while (l > 0 && res[l - 1] < res[l]) {
                l--;
            }
            while (r < res.size() - 1 && res[r] > res[r + 1]) {
                r++;
            }
            ans = max(ans, r - l + 1);
        }
    }
    cout<<ans<<endl;

}

---

---

---

这三个题目是LIS问题中比较基础的题目，但是笔试一般不会这么简单，像牛牛这题，就加了一个限制条件—最多只改变一个数，那么这题的解法就变困难些，那么这题该如何解呢？

解题思路

空间换时间，额外建立两个数组，一个left，一个right

left存放得是以第i个元素为结尾点自左向右的最长连续上升子序列（下标连续，值递增）

right存放得是以第i个元素为起始点自左向右的最长连续上升子序列（下标连续，值递增）

以[7 2 3 1 5 6]为例

left[0]=1，right[5]=1

left[1]=1，right[4]=2

left[2]=2，right[3]=3

left[3]=1，right[2]=1

left[4]=2，right[1]=2

left[5]=3，right[0]=1

用的是dp动态规划

状态转移矩阵

​ left[i]=nums[i]>nums[i-1]?left[i-1]+1:1;

​ right[i]=nums[i]<nums[i+1]?right[i+1]+1:1;

然后得到dp[i]=max(left[i]+right[i]-1);

C++代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <unordered_set>
#include <vector>
using namespace std;
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    vector<int> res(n);
    for(int i=0;i<n;i++)
        cin>>res[i];

    vector<int> left(n);
    vector<int> right(n);

    left[0]=1;
    for(int i=1;i<n;i++)
        left[i]=res[i]>res[i-1]?left[i-1]+1:1;

    right[n-1]=1;
    for(int i=n-2;i>=0;i--)
        right[i]=res[i]<res[i+1]?right[i+1]+1:1;

    int ans=0;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        ans=max(right[i],max(left[i],ans));
        if(i>0 && i<n-1 && res[i+1]-res[i-1]>=2)
            ans=max(ans,right[i+1]+left[i-1]+1);
    }
    cout<<ans;
    return ans;
}

以上就是自己对LIS问题的总结，都是一些解决基础问题的方法总结，最近经常用到的方法是动态规划、双指针、哈希表，下次总结一点双指针的问题。