dp——最长上升子序列(LIS)

最新推荐文章于 2025-02-15 17:40:43 发布

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本文详细介绍了最长上升子序列（LIS）的概念及求解方法，通过动态规划算法解决LIS问题，并以Leetcode题目为例进行深入解析，展示了状态设计、状态转移等关键步骤。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

问题描述

最长上升子序列LIS(longest increasing subsequence)：给定一个长度为n的序列

（a1,a2,a3,...,an) 
a1<a2<a3<...<an

从中选取一个子序列，这个子序列需要单调递增。

问最长上升子序列(LIS)的长度。

eg:1, 5, 2, 4, 11, 7, 9

其中的一些上升子序列为{1，5}，{1，2} ...

则LIS序列为：1，2，4，7，9，长度为5.

设计状态

记f(x)为以a[x]结尾的LIS长度，那么LIS=max{f(x)}.

如何推导f(x)，f(x)从哪来呢？

考虑比x小的每一个 j，如果a[x] > a [j]，那么f(x) = f(j)+1；

状态转移方程

f(x)=max{f(j)}+1（j<x，则a[j]<a[x]）

我们以Leetcode上的一道题目为例子，https://leetcode-cn.com/problems/longest-palindromic-substring/

采用动态规划的方式来做，

状态设计：dp[i]代表以序列a[i]为结尾的长度

状态转移：dp[i] = max{dp[i], dp[j]+1}(0<=j<i, a[j]<a[i])

边界：dp[i]=1(0<=j<n)

时间复杂度：O(N^2)

例题中输入的子序列为

10，9，2，5，3，7，101，18

输出：4

解释：最长上升子序列是{2, 3, 7, 101}，它的长度为4

dp[i]	初始值	j=0	j=1	j=2	j=3	j=4	j=5	j=6
dp[0]	1
dp[1]	1	1
dp[2]	1	1	1
dp[3]	1	1	1	2
dp[4]	1	1	1	2	2
dp[5]	1	1	1	2	3	3
dp[6]	1	2	2	2	3	3	4

下面是参考例子

class Solution {
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
         
        if (size == 0) return 0;    //检查输入的数组是否合法
        int size=(int)nums.size();
        int ans=1;
        vector<int> dp(size, 0);
        for (int i = 0; i < size; ++i) {    //从头遍历子序列到终点
            dp[i] = 1;
            for (int j = 0; j < i; ++j) {
                if (nums[j] < nums[i]) {
                    dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);    //状态转移
                }                
            }
            ans=max(ans, dp[i]);                    //比较每一个dp，最大值为答案
        }
        return ans;
    }
};

/******
* 10,9,2,5,3,7,101,18
* 2,3,7,101
* 4
*/