最长上升子序列（LIS)

概述：
关于LIS部分，本篇博客讲一下LIS的概念定义和理解，以及求LIS的三种方法，分别是O(n^2)的DP，O(nlogn)的二分+贪心法，以及O(nlogn)的树状数组优化的DP，最后附上几道非常经典的LIS的例题及分析。

1.动态规划
我们要求n个数的最长上升子序列，可以求前n-1个数的最长上升子序列，再跟第n个数进行判断。求前n-1个数的最长上升子序列，可以通过求前n-2个数的最长上升子序列……直到求前1个数的最长上升子序列，此时LIS当然为1。

让我们举个例子：求 2 7 1 5 6 4 3 8 9 的最长上升子序列。我们定义d(i) (i∈[1,n])来表示前i个数以A[i]结尾的最长上升子序列长度。

前1个数 d(1)=1 子序列为2；

前2个数 7前面有2小于7 d(2)=d(1)+1=2 子序列为2 7

前3个数 在1前面没有比1更小的，1自身组成长度为1的子序列 d(3)=1 子序列为1

前4个数 5前面有2小于5 d(4)=d(1)+1=2 子序列为2 5

前5个数 6前面有2 5小于6 d(5)=d(4)+1=3 子序列为2 5 6

前6个数 4前面有2小于4 d(6)=d(1)+1=2 子序列为2 4

前7个数 3前面有2小于3 d(3)=d(1)+1=2 子序列为2 3

前8个数 8前面有2 5 6小于8 d(8)=d(5)+1=4 子序列为2 5 6 8

前9个数 9前面有2 5 6 8小于9 d(9)=d(8)+1=5 子序列为2 5 6 8 9

d(i)=max{d(1),d(2),……,d(i)} 我们可以看出这9个数的LIS为d(9)=5

总结一下，d(i)就是找以A[i]结尾的，在A[i]之前的最长上升子序列+1，当A[i]之前没有比A[i]更小的数时，d(i)=1。所有的d(i)里面最大的那个就是最长上升子序列。其实说的通俗点，就是每次都向前找比它小的数和比它大的数的位置，将第一个比它大的替换掉，这样操作虽然LIS序列的具体数字可能会变，但是很明显LIS长度还是不变的，因为只是把数替换掉了，并没有改变增加或者减少长度。但是我们通过这种方式是无法求出最长上升子序列具体是什么的，这点和最长公共子序列不同。

复杂度：O (n^2)

2.贪心+二分
新建一个 low 数组，low [ i ]表示长度为i的LIS结尾元素的最小值。对于一个上升子序列，显然其结尾元素越小，越有利于在后面接其他的元素，也就越可能变得更长。因此，我们只需要维护 low 数组，对于每一个a[ i ]，如果a[ i ] > low [当前最长的LIS长度]，就把 a [ i ]接到当前最长的LIS后面，即low [++当前最长的LIS长度] = a [ i ]。
那么，怎么维护 low 数组呢？
对于每一个a [ i ]，如果a [ i ]能接到 LIS 后面，就接上去；否则，就用 a [ i ] 取更新 low 数组。具体方法是，在low数组中找到第一个大于等于a [ i ]的元素low [ j ]，用a [ i ]去更新 low [ j ]。如果从头到尾扫一遍 low 数组的话，时间复杂度仍是O(n^2)。我们注意到 low 数组内部一定是单调不降的，所有我们可以二分 low 数组，找出第一个大于等于a[ i ]的元素。二分一次 low 数组的时间复杂度的O(lgn)，所以总的时间复杂度是O(nlogn)。

我们再举一个例子：有以下序列A[ ] = 3 1 2 6 4 5 10 7，求LIS长度。

我们定义一个B[ i ]来储存可能的排序序列，len 为LIS长度。我们依次把A[ i ]有序地放进B[ i ]里。

 （为了方便，i的范围就从1~n表示第i个数）

A[1] = 3，把3放进B[1]，此时B[1] = 3，此时len = 1，最小末尾是3

A[2] = 1，因为1比3小，所以可以把B[1]中的3替换为1，此时B[1] = 1，此时len = 1，最小末尾是1

A[3] = 2，2大于1，就把2放进B[2] = 2，此时B[ ]={1,2}，len = 2

同理，A[4]=6，把6放进B[3] = 6，B[ ]={1,2,6}，len = 3

A[5]=4，4在2和6之间，比6小，可以把B[3]替换为4，B[ ] = {1,2,4}，len = 3

A[6] = 5，B[4] = 5，B[ ] = {1,2,4,5}，len = 4

A[7] = 10，B[5] = 10，B[ ] = {1,2,4,5,10}，len = 5

A[8] = 7，7在5和10之间，比10小，可以把B[5]替换为7，B[ ] = {1,2,4,5,7}，len = 5

   最终我们得出LIS长度为5，但是，但是！！！B[ ] 中的序列并不一定是正确的最长上升子序列。在这个例子中，我们得到的1 2 4 5 7 恰好是正确的最长上升子序列，下面我们再举一个例子：有以下序列A[ ] = 1 4 7 2 5 9 10 3，求LIS长度。

   A[1] = 1，把1放进B[1]，此时B[1] = 1，B[ ] = {1}，len = 1

   A[2] = 4，把4放进B[2]，此时B[2] = 4，B[ ] = {1,4}，len = 2

   A[3] = 7，把7放进B[3]，此时B[3] = 7，B[ ] = {1,4,7}，len = 3

   A[4] = 2，因为2比4小，所以把B[2]中的4替换为2，此时B[ ] = {1,2,7}，len = 3

   A[5] = 5，因为5比7小，所以把B[3]中的7替换为5，此时B[ ] = {1,2,5}，len = 3

   A[6] = 9，把9放进B[4]，此时B[4] = 9，B[ ] = {1,2,5,9}，len = 4

   A[7] = 10，把10放进B[5]，此时B[5] = 10，B[ ] = {1,2,5,9,10}，len = 5

   A[8] = 3，因为3比5小，所以把B[3]中的5替换为3，此时B[ ] = {1,2,3,9,10}，len = 5

最终我们得出LIS长度为5。但是，但是！！这里的1 2 3 9 10很明显并不是正确的最长上升子序列。因此，B序列并不一定表示最长上升子序列，它只表示相应最长子序列长度的排好序的最小序列。这有什么用呢？我们最后一步3替换5并没有增加最长子序列的长度，而这一步的意义，在于记录最小序列，代表了一种“最可能性”，只是此种算法为计算LIS而进行的一种替换。假如后面还有两个数据12和15，那么B[ ]将继续更新。

代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <stack>
#include <queue>
#include <map>
#include <set>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const double N = 1e6+10;
const double pi = acos(-1.0);
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MOD = 1000000007;
#define ll long long
#define CL(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define MAXN 100010
int a[MAXN];
int g[MAXN], d[MAXN]; 
int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
    {
        cin >> a[i];
    }
        vector<int>v;   //用于存储第i+1长度的LIS的最后一位(长度为i的LIS结尾元素的最小值)
        v.push_back(a[1]);
        for(int i = 2;i <= n;i++){
            if(a[i]<=*v.rbegin()){//反向迭代 (就是最后一个元素)
                vector<int> :: iterator pos;
                pos = lower_bound(v.begin(),v.end(),a[i]);
                *pos = a[i];
            }else{
                v.push_back(a[i]);
            }
        }  
        cout << v.size() << endl;
    return 0;
}

****a[i]<=*v.rbegin()是严格上升的，a[i]<*v.rbegin()是单调不减的

3.树状数组的维护
我们再来回顾O(n^2)DP的状态转移方程：F [ i ] = max { F [ j ] + 1 ，F [ i ] } (1 <= j < i，A[ j ] < A[ i ])
我们在递推F数组的时候，每次都要把F数组扫一遍求F[ j ]的最大值，时间开销比较大。我们可以借助数据结构来优化这个过程。用树状数组来维护F数组（据说分块也是可以的，但是分块是O(n*sqrt(n)）的时间复杂度，不如树状数组跑得快），首先把A数组从小到大排序，同时把A[ i ]在排序之前的序号记录下来。然后从小到大枚举A[ i ]，每次用编号小于等于A[ i ]编号的元素的LIS长度+1来更新答案，同时把编号大于等于A[ i ]编号元素的LIS长度+1。因为A数组已经是有序的，所以可以直接更新。有点绕，具体看代码。

还有一点需要注意：树状数组求LIS不去重的话就变成了最长不下降子序列了。
最长不下降子序列：

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
const int maxn =103,INF=0x7f7f7f7f;
struct Node{
    int val,num;
}z[maxn]; 
int T[maxn];
int n;
bool cmp(Node a,Node b)
{
    return a.val==b.val?a.num<b.num:a.val<b.val;
}
void modify(int x,int y)//把val[x]替换为val[x]和y中较大的数 
{
    for(;x<=n;x+=x&(-x)) T[x]=max(T[x],y);
}
int query(int x)//返回val[1]~val[x]中的最大值 
{
    int res=-INF;
    for(;x;x-=x&(-x)) res=max(res,T[x]);
    return res;
}
int main()
{
    int ans=0;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&z[i].val);
        z[i].num=i;//记住val[i]的编号，有点类似于离散化的处理，但没有去重 
    }
    sort(z+1,z+n+1,cmp);//以权值为第一关键字从小到大排序 
    for(int i=1;i<=n;i++)//按权值从小到大枚举 
    {
        int maxx=query(z[i].num);//查询编号小于等于num[i]的LIS最大长度
        modify(z[i].num,++maxx);//把长度+1，再去更新前面的LIS长度
        ans=max(ans,maxx);//更新答案
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}