第1章多项式

heine162

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文章标签：矩阵线性代数

于 2023-09-14 15:03:37 首次发布

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$f(x),g(x)$ 最大公因式为 $\varphi (x)$ ,则有 $u(x),v(x)$ 满足 $u(x)f(x)+v(x)g(x)=\varphi (x)$ ，记为 $(f(x),g(x))=\varphi (x)$

$(f(x),g(x))=1$ 等价于 $f(x),g(x)$ 互素。

性质一：

2和5互素，5乘以一个数c除以2得到整数，那么c除以2也能被除得尽。

$(f(x),g(x))=1,f(x)|g(x)h(x)\Rightarrow f(x)|h(x)$

证明： $u(x)f(x)+v(x)g(x)=1$ ，两边乘以h(x), $u(x)f(x)h(x)+v(x)g(x)h(x)=h(x)$

由 $f(x)|u(x)f(x)h(x),f(x)|v(x)g(x)h(x)\Rightarrow f(x)|h(x)$

性质二：

试想一个数被2除得尽，也被3除得尽，2和3互素，那么这个数也能被6除得尽。通过这个例子记住该性质！

$(f(x),g(x))=1,f(x)|h(x),g(x)|h(x)\Rightarrow f(x)g(x)|h(x)$

证明： $f(x)|h(x) \Rightarrow h(x)=f(x)h_{1}(x)\Rightarrow g(x)|f(x)h_{1}(x)$

f(x)和g(x)互素，根据性质一， $g(x)|h_{1}(x)\Rightarrow h(x)=f(x)h_{1}(x)=f(x)g(x)h_{2}(x)\Rightarrow f(x)g(x)|h(x)$

性质三：

f(x)不可约， $f(x)|g(x)h(x)$ 则f(x)至少整除g(x)或者h(x)中的其中一个。因为f(x)不可约，意味着不能分解成两个较低次数的多项式，所以它和任意多项式分公因式要么是f(x)自身要么为1，否则与f(x)不可约矛盾。然后利用性质一可证。

实际上若f(x)可约的话，g(x)和h(x)都不能被f(x)除尽，但是它们的乘积g(x)h(x)可能被f(x)除尽，如f(x)=2x*3x，g(x)=2x,h(x)=3x。

性质四：

主要为了证明初等因子的引理：

4.1

f1(x)和g1(x)互素，则(f1(x),f2(x))和(g1(x),g2(x))的公因式d1(x),d2(x)互素。

这是因为假如d1(x),d2(x)不互素(d1(x)整除f1(x),f2(x)，d2(x)整除g1(x),g2(x))，就存在一个次数大于0的多项式d3(x),它整除d1(x),d2(x)，当然也整除f1(x),f2(x),g1(x),g2(x)。即d3(x)是f1(x)和g1(x)的公因式。与f1(x)和g1(x)矛盾。

4.2

d1(x)互素和d2互素，又能整除d(x),则d1(x)d2(x) | d(x)用到了性质二。

4.3

d(x) | f1(x)g1(x)则可以找到f(x)和g(x)使d(x)=f(x)g(x),且f(x) | f1(x), g(x) | g1(x)

证明: