51nod-1616 最小集合

最新推荐文章于 2021-01-25 11:33:03 发布

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本文探讨了一个有趣的问题：如何根据部分已知元素确定一个特殊集合的最小规模。此集合具有独特的性质：任意两个元素的最大公约数也必须是集合的成员。通过分析输入数据，文章提供了一种算法解决方案来找出集合中至少包含的不同数字的数量。

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1616 最小集合

基准时间限制：1 秒空间限制：131072 KB 分值: 80 难度：5级算法题

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A君有一个集合。

这个集合有个神奇的性质。

若X,Y属于该集合，那么X与Y的最大公因数也属于该集合。

但是他忘了这个集合中原先有哪些数字。

不过幸运的是，他记起了其中n个数字。

当然，或许会因为过度紧张，他记起来的数字可能会重复。

他想还原原先的集合。

他知道这是不可能的……

现在他想知道的是，原先这个集合中至少存在多少数。

样例解释：

该集合中一定存在的是{1,2,3,4,6}

Input

第一行一个数n(1<=n<=100000)。
第二行n个数，ai(1<=ai<=1000000，1<=i<=n)。表示A君记起来的数字。
输入的数字可能重复。

Output

输出一行表示至少存在多少种不同的数字。

Input示例

5
1 3 4 6 6

Output示例

性质1：该集合中一定存在输入的数字中若干数的最大公因数。
这个证明比较简单，例如我们有

a1, a2, ..., an 这些数，那么

gcd(a1,a2) 一定存在该集合，然后

gcd(a1,a2,a3) 也一定存在该集合，依次类推。
所以我们对于每个数i，都求出在n个数中有多少数是它的倍数,记为

f(i) 。
然后观察

f(2× i), f(3× i), .., f(x× i), ... 中是否存在一个数等于

f(i) ，若不存在，则i一定存在于该集合。

#include <bits/stdc++.h>
#define maxn 1000005
#define INF 1000000009
typedef long long ll;
using namespace std;

int d[maxn], p[maxn];
int main(){
	
//	freopen("in.txt", "r", stdin);
	int n, a, maxs = 0;
	scanf("%d", &n);
	for(int i = 0; i < n; i++){
		scanf("%d", &a);
		d[a] = 1;
		maxs = max(maxs, a);
	}
	for(int i = 1; i <= maxs; i++)
	 for(int j = i; j <= maxs; j += i){
	 	if(d[j])
	 	 p[i]++;
	 }
	 int ans = 0;
	 for(int i = 1; i <= maxs; i++){
	     if(p[i] == 0)
	      continue;
	     int sign = 0;
	  for(int j = i * 2; j <= maxs; j += i){
	  	if(p[i] == p[j]){
	  		sign = 1;
	  	 break;
	    }
	  } 
	  if(sign == 0)
	   ans++;
     }
     printf("%d\n", ans);
     return 0;
}