51nod 最小集合

最小集合

System Message  (命题人)

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A君有一个集合。

这个集合有个神奇的性质。

若X,Y属于该集合，那么X与Y的最大公因数也属于该集合。

但是他忘了这个集合中原先有哪些数字。

不过幸运的是，他记起了其中n个数字。

当然，或许会因为过度紧张，他记起来的数字可能会重复。

他想还原原先的集合。

他知道这是不可能的……

现在他想知道的是，原先这个集合中至少存在多少数。

样例解释：

该集合中一定存在的是{1,2,3,4,6}

Input

第一行一个数n(1<=n<=100000)。
第二行n个数，ai(1<=ai<=1000000，1<=i<=n)。表示A君记起来的数字。
输入的数字可能重复。

Output

输出一行表示至少存在多少种不同的数字。

Input示例

5
1 3 4 6 6

Output示例

5

分析: 只想到和倍数有关，之后的就没想出来，还是老老实实看题解吧

官方题解:

观察题目性质。
性质1：该集合中一定存在输入的数字中若干数的最大公因数。
这个证明比较简单，例如我们有  a1, a2, ..., an  这些数，那么  gcd(a1,a2)  一定存在该集合，然后  gcd(a1,a2,a3)  也一定存在该集合，依次类推。
所以我们对于每个数i，都求出在n个数中有多少数是它的倍数,记为  f(i)  。
然后观察  f(2× i), f(3× i), .., f(x× i), ...  中是否存在一个数等于  f(i)  ，若不存在，则i一定存在于该集合。
总复杂度为  maxni=1 ai× lg(maxni=1 ai)  。

#include <stdio.h>

const int N = 1000100;
bool vis[N];
int cnt[N];

int main()
{
    int n, x, limit = 0;
    scanf("%d", &n);
    
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        scanf("%d", &x);
        vis[x] = true;
        limit = limit < x ? x : limit;
    }
    
    for(int i = 1; i <= limit; i++)
        for(int j = i; j <= limit; j += i)
        {
            if(vis[j]) cnt[i]++;
        }
    
    int ans = 0;
    for(int i = 1; i <= limit; i++)
    {
        bool ok = true;
        if(cnt[i])
        {
            for(int j = i << 1; j <= limit; j += i)
            {
                if(cnt[j] == cnt[i])
                {
                    ok = false;
                    break;
                }
            }
        }
        else ok = false;
        if(ok) ans++;
    }
    
    printf("%d\n", ans);
    
    return 0;
}