关于仿射矩阵的推导过程

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#机器视觉 #仿射变换

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1.仿射矩阵的一般式

⎡ ⎣ ⎢ x w y w z w ⎤ ⎦ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 1 ⎤ ⎦ ⎥ ● ⎡ ⎣ ⎢ x i m a g e y i m a g e 1 ⎤ ⎦ ⎥

$\begin{bmatrix} x_{w} \\ y_{w} \\ z_{w} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a11 & a12 & a13 \\ a21 & a22 & a23 \\ a31 & a32 & 1 \\ \end{bmatrix} ● \begin{bmatrix} x_{image} \\ y_{image} \\ 1 \\ \end{bmatrix}$
其中设图像平面为1，坐标只有一个比例因子。故

Z i m a g e = 1, a 33 = 1

$Z_{image} = 1,a33 =1$
求得a11~a32 8个参数便能得到仿射矩阵。
2.求解8个参数
为了得到仿射后的一一对应关系，8个未知数应有8个方程，故需要4个不同的点对应才能求解该方程。
由矩阵乘法可知：

x w = a 11 \cdot x i m a g e + a 12 \cdot y i m a g e + a 13 \dots \dots \dots \dots (1)

$x_{w} = a11·x_{image}+a12·y_{image} +a13…………(1)$

y w = a 21 \cdot x i m a g e + a 22 \cdot y i m a g e + a 23 \dots \dots \dots \dots (2)

$y_{w} = a21·x_{image}+a22·y_{image} +a23…………(2)$

z w = a 31 \cdot x i m a g e + a 32 \cdot y i m a g e + 1 \dots \dots \dots \dots (3)

$z_{w} = a31·x_{image}+a32·y_{image} +1…………(3)$

要 得 到 z w 的 平 面 内 x 和 y 的 值 ， 由 投 影 的 三 角 形 相 似 法 可 得 : x ， y 应 除 以 z

$要得到z_{w}的平面内x和y的值，由投影的三角形相似法可得:x，y应除以z$ 故：

x w o r l d = x w z w, y w o r l d = y w z w

$x_{world} = \frac{x_{w}}{z_w},y_{world} = \frac{y_{w}}{z_w}$ 有:

x w o r l d = a 11 \cdot x i m a g e + a 12 \cdot y i m a g e + a 13 a 31 \cdot x i m a g e + a 32 \cdot y i m a g e + 1

$x_{world} = \frac{a11·x_{image}+a12·y_{image} +a13}{a31·x_{image}+a32·y_{image} +1}$

y w o r l d = a 21 \cdot x i m a g e + a 22 \cdot y i m a g e + a 23 a 31 \cdot x i m a g e + a 32 \cdot y i m a g e + 1

$y_{world} = \frac{ a21·x_{image}+a22·y_{image} +a23}{a31·x_{image}+a32·y_{image} +1}$
代入四个对应点对，并写成矩阵A·x = 0的形式。

⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ x 1 i 0 x 2 i 0 x 3 i 0 x 4 i 0 y 1 i 0 y 2 i 0 y 3 i 0 y 4 i 0 10101010 0 x 1 i 0 x 1 i 0 x 3 i 0 x 4 i 0 y 1 i 0 y 1 i 0 y 3 i 0 y 4 i 01010101 - x 1 i x 1 w - y 1 w x 1 i - x 2 i x 2 w - y 1 w x 1 i - x 3 i x 3 w - y 3 w x 3 i - x 4 i x 4 w - y 4 w x 4 i - x 1 i y 1 w - y 1 i y 1 w - x 2 i y 2 w - y 1 i y 1 w - x 3 i y 3 w - y 3 i y 3 w - x 4 i y 4 w - y 4 i y 4 w - x 1 w - y 1 w - x 2 w - y 1 w - x 3 w - y 3 w - x 4 w - y 4 w ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ \cdot ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 1 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = 0

$\begin{bmatrix} x_{1i}&y_{1i}&1&0&0&0&-x_{1i}x_{1w}&-x_{1i}y_{1w}&-x_{1w}\\ 0&0&0&x_{1i}&y_{1i}&1&-y_{1w}x_{1i}&-y_{1i}y_{1w}&-y_{1w} \\ x_{2i}&y_{2i}&1&0&0&0&-x_{2i}x_{2w}&-x_{2i}y_{2w}&-x_{2w}\\ 0&0&0&x_{1i}&y_{1i}&1&-y_{1w}x_{1i}&-y_{1i}y_{1w}&-y_{1w} \\ x_{3i}&y_{3i}&1&0&0&0&-x_{3i}x_{3w}&-x_{3i}y_{3w}&-x_{3w}\\ 0&0&0&x_{3i}&y_{3i}&1&-y_{3w}x_{3i}&-y_{3i}y_{3w}&-y_{3w} \\ x_{4i}&y_{4i}&1&0&0&0&-x_{4i}x_{4w}&-x_{4i}y_{4w}&-x_{4w}\\ 0&0&0&x_{4i}&y_{4i}&1&-y_{4w}x_{4i}&-y_{4i}y_{4w}&-y_{4w} \\ \end{bmatrix} · \begin{bmatrix} a11\\ a12\\ a13\\ a21\\ a22\\ a23\\ a31\\ a32\\ 1\\ \end{bmatrix}=0$
由此可求得这8个参数。
3.多点求仿射矩阵
超过四个点，就是方程数大于未知数。属于超定方程求解，可以由最小二乘法解决。