仿射变换矩阵

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#几何学 #矩阵

本文介绍了如何利用Eigen库中的Affine3f对象进行三维空间的仿射变换，包括平移、旋转和缩放。通过Translation3f对象存储平移向量，Quaternionf对象存储旋转，然后将两者结合生成最终的变换矩阵。此外，还提到了仿射变换在外参标定中的应用，例如在激光雷达与可见光标定中，提供了具体的外参矩阵示例。

仿射变换Affine3f矩阵

首先总结而言：仿射变换矩阵实际上就是：平移向量+旋转变换组合而成，可以同时实现旋转，缩放，平移等空间变换。

Eigen库中，仿射变换矩阵的大致用法为：

创建Eigen::Affine3f 对象a。
创建类型为Eigen::Translation3f 对象b，用来存储平移向量；
创建类型为Eigen::Quaternionf 四元数对象c，用来存储旋转变换；
最后通过以下方式生成最终Affine3f变换矩阵：

a=b*c.toRotationMatrix();

一个向量通过仿射变换时的方法是result_vector=test_affinetest_vector;
原文链接：（可以参考）
https://blog.youkuaiyun.com/weixin_42503785/article/details/112552689.
对于激光雷达与可见光标定的外参可得到两者的仿射变换矩阵
extrinsic
-0.00637662 -0.999867 0.015002 -0.0448843
-0.176276 -0.0136435 -0.984246 0.0352824
0.98432 -0.00892066 -0.176165 -0.3629
0 0 0 1
平移向量与旋转向量相乘得到13的矩阵；
在这里插入图片描述

cfomg
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仿射变换矩阵应用
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11-03 474
仿射变换在三维空间中通常由一个 3×3的线性变换矩阵和一个 3×1的平移向量组成。通过使用齐次坐标，我们可以将仿射变换表示为一个 4×4矩阵：A 是一个 3×3的线性变换矩阵（包含旋转、缩放、剪切）。t 是一个 3×1的平移向量。
72-OpenCVSharp —-Cv2.InvertAffineTransform函数功能（计算给定仿射变换矩阵的逆变换矩阵）详解
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OpenCV（十一）：图像仿射变换
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仿射变换是由平移、缩放、旋转、翻转和错切组合得到，也称为三点变换。仿射变换可以通过一个2x3的仿射变换矩阵来表示，该矩阵包含了平移、缩放、旋转和剪切等变换的参数。仿射变换矩阵的一般形式如下：其中 (A, B) 和 (C, D) 控制了图像的旋转和缩放，(Tx, Ty) 控制了图像的平移。对于一个点 P(x, y) 在原始坐标系中，经过仿射变换后得到的新坐标 P'(x', y') 可以通过公式计算。仿射变换函数：warpAffine()图像旋转：getRotationMatrix2D() 计算仿射变换get
cv2技术原理-仿射变换原理及手动实现
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04-20 1625
因为图像中像素点p的坐标可以使用(x,y)表示，变换之后该像素p的位置变换到了坐标(u ,v)。这个矩阵是2×3的，但是这会改变原始图像的维度，为此，增加一个维度，构造齐次变换矩阵3×3。再解释一下上面三个点的直观解释就是把下图中的红点拉到绿点，然后图像的其余点跟着进行线性变换。中选了三个点[0,0]、[100,979]、[1819,100]。中选了三个点[0,0]、[0,1079]、[1919,0]。，仿射变换矩阵为2x3的矩阵，如下图中的矩阵M，其中的。原始图像上的点和目标图像上的点一一对应。
【自动驾驶】Eigen变换矩阵的几种用法Matrix4f、Affine3f、
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什么是仿射变换以及仿射变换矩阵？
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仿射变换以及仿射变换矩阵 仿射变换以及仿射变换矩阵 仿射变换可以理解为・对坐标进行放缩，旋转，平移后取得新坐标的值。・经过对坐标轴的放缩，旋转，平移后原坐标在在新坐标领域中的值。 如上图所示，XY坐标系坐标轴旋转θ，坐标原点移动（x0，y0）。XY坐标系中的坐标（X，Y），则求新坐标系xy中的坐标值的方程组为: X = X･cosθ - Y･sinθ + x
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前言 仿射变换（Affine transformation），又称仿射映射，是指在几何中，对一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变换为另一个向量空间。 它是一种二维坐标到二维坐标间的线性变换，保持了二维图形的“平直性”（直线经过变换之后依然是直线）和“平行性”（二维图形之间的相对位置关系保持不变，平行线依然是平行线，且直线上点的位置顺序不变）。 任意的仿射变换都能表示成“乘以一个矩阵(线性变换)，再加上一个向量 (平移) 的形式”。 仿射变换 仿射矩阵 逆仿射变换与其矩阵 参考资料 [1] 仿射变
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求解仿射变换矩阵
白发空垂三千丈
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仿射变换矩阵介绍
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平移 translate tx ty tz 100001000010txtytz1100tx010ty001tz0001 \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & tx \\ 0 & 1 & 0 & ty \\ 0 & 0 & 1 & tz \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}
关于仿射变换矩阵的一点理解
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仿射变换，是一种二维坐标到二维坐标之间的线性变换；它保持了二维图形的“平直性”（直线经过变换后依然是直线）和“平行性”（二维图形之间相对位置保持不变，平行线依然是平行线，且直线上点的位置关系不变）。仿射变换可以写为如下形式。 变换形式如下，a0, a1, a2, b0, b1,b2是对应2*3变换矩阵的几个值。 针对图像而言，变换矩阵和图像之间关系为：dst_img=M*src_img 仿射变换有如下几种变换形式：平移、旋转、放缩、剪切、翻转。 为了涵盖平移，将变换矩...
仿射变换和变换矩阵
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图形学简单总结一 本文为闫令琪老师GAMES101-现代图形学入门基础课程的个人笔记。需要一定的线性代数基础，可以参考网友推荐线性代数的本质. 仿射变换 可能有的同学熟悉，这里的四种操作都是PhotoShop中Ctrl + T 的变形操作。以平面图形（二维）举例，屏幕中的每一个像素点都有一个(x,y)(x,y)(x,y)坐标的位置信息，以下给就是在变形时计算一点坐标的通用矩阵格式。 [a11a12a21a22][xy]=[a11x+a12ya21x+a22y] \begin{bmatrix} a_{11}&
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仿射变换 矩阵
最新发布
08-19
仿射变换（Affine Transformation）是图像处理和计算机图形学中常用的一种几何变换，其核心思想是在向量空间中进行一次线性变换（乘以一个矩阵），并随后进行一次平移（加上一个向量），从而将一个坐标系中的点映射到另一个坐标系中。仿射变换保持了图像的平行性和线性关系，因此在图像旋转、缩放、平移、错切等操作中具有广泛应用。 ### 仿射变换的数学原理 仿射变换可以表示为： $$ \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b & t_x \\ c & d & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} $$ 其中 $(x, y)$ 是原图中的坐标点，$(x', y')$ 是变换后的坐标点，矩阵中的 $a, b, c, d$ 构成了线性变换部分，而 $t_x, t_y$ 表示平移部分。这种表示方式利用了齐次坐标，使得平移操作也能通过矩阵乘法实现。 ### 仿射变换矩阵的构成 仿射变换矩阵通常是一个 $2 \times 3$ 的矩阵，其形式如下： $$ M = \begin{bmatrix} a & b & t_x \\ c & d & t_y \end{bmatrix} $$ 该矩阵可以拆解为一个 $2 \times 2$ 的线性变换矩阵 $A$ 和一个 $2 \times 1$ 的平移向量 $B$： $$ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},\quad B = \begin{bmatrix} t_x \\ t_y \end{bmatrix} $$ 其中 $A$ 控制缩放、旋转、错切等操作，而 $B$ 控制图像的平移。 ### 常见的仿射变换类型 1. **平移变换**： $$ M_{\text{translate}} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \end{bmatrix} $$ 2. **旋转变换**： $$ M_{\text{rotate}} = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \end{bmatrix} $$ 3. **缩放变换**： $$ M_{\text{scale}} = \begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 \\ 0 & s_y & 0 \end{bmatrix} $$ 4. **错切变换**： $$ M_{\text{shear}} = \begin{bmatrix} 1 & \tan\theta & 0 \\ \tan\phi & 1 & 0 \end{bmatrix} $$ ### 仿射变换的矩阵实现 在实际应用中，仿射变换可以通过 OpenCV、NumPy 等库实现。例如，在 OpenCV 中，可以通过 `cv2.warpAffine` 函数应用仿射变换矩阵对图像进行处理。 以下是一个使用 Python 和 OpenCV 实现仿射变换的示例代码： ```python import cv2 import numpy as np # 读取图像 image = cv2.imread('input.jpg') # 定义仿射变换矩阵（例如：平移） M_translate = np.float32([[1, 0, 50], [0, 1, 30]]) # 应用仿射变换 transformed_image = cv2.warpAffine(image, M_translate, (image.shape[1], image.shape[0])) # 显示结果 cv2.imshow('Transformed Image', transformed_image) cv2.waitKey(0) cv2.destroyAllWindows() ``` 上述代码中，`M_translate` 是一个 $2 \times 3$ 的仿射变换矩阵，用于实现图像的平移操作。通过 `cv2.warpAffine` 函数，可以将变换矩阵应用于图像，生成新的变换后图像。 ### 仿射变换的特点 - **保持平行性**：仿射变换不会改变图像中平行线的关系，变换后的图像仍然保持平行线平行。 - **线性变换与平移结合**：仿射变换是线性变换和平移操作的结合，能够实现旋转、缩放、错切和平移等多种变换。 - **齐次坐标表示**：通过齐次坐标，可以将平移操作统一到矩阵乘法中，简化了计算过程。 ### 相关问题
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