本文先证明一个重要的引理：泊松求和公式，然后给出一个实例：一维晶体衍射，并在计算过程中引入 Ш Ш Ш函数，并介绍Ш函数的一些性质。
首先，我们先证明泊松求和公式：
若为速降函数，则
∑ k = − ∞ ∞ φ ( k ) = ∑ k = − ∞ ∞ F φ ( k ) (1) \huge \sum_{k=-\infty}^{\infty}\varphi(k) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}\mathscr{F}\varphi(k) \tag1 k=−∞∑∞φ(k)=k=−∞∑∞Fφ(k)(1)
证明如下：
我们先将函数 φ ( x ) \varphi(x) φ(x) 周期化，即在一维直线上每隔 k k k 放一个 φ \varphi φ，这样就可以得到
Φ ( x ) = ∑ k = − ∞ ∞ φ ( x − k ) (2) \Phi(x) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}\varphi(x-k)\tag 2 Φ(x)=k=−∞∑∞φ(x−k)(2)
接着，我们将 Φ ( x ) \Phi(x) Φ(x) 用傅里叶级数展开，有：
Φ ( x ) = ∑ k = − ∞ ∞ Φ ^ ( k ) e 2 π i k x (3) \Phi(x) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \hat{\Phi}(k) e^{2\pi ikx}\tag 3 Φ(x)=k=−∞∑∞Φ^(k)e2πikx(3)
其中， Φ ^ ( s ) = ∫ 0 1 Φ ( x ) e − 2 π i s x d x \hat{\Phi}(s) = \int_{0}^{1}\Phi(x) e^{-2\pi isx}dx Φ^(s)=∫01Φ(x)e−2πisxdx
我们将 ( 2 ) (2) (2) 式带入其中，并令 u = x − k u=x-k u=x−k，则有
Φ ^ ( s ) = ∫ 0 1 ∑ k = − ∞ ∞ φ ( x − k ) e − 2 π i s x d x = ∑ k = − ∞ ∞ ∫ − k 1 − k φ ( u ) e − 2 π i s ( u + k ) d u = ∑ k = − ∞ ∞ ∫ − k 1 − k φ ( u ) e − 2 π i s u e − 2 π i s k d u \begin{aligned} \hat{\Phi}(s) &= \int_{0}^{1} \sum_{k=-\infty}^{\infty}\varphi(x-k) e^{-2\pi isx}dx\\ &= \sum_{k=-\infty}^{\infty}\int_{-k}^{1-k}\varphi(u) e^{-2\pi is(u+k)}du\\ &=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\int_{-k}^{1-k}\varphi(u) e^{-2\pi isu} e^{-2\pi isk}du \end{aligned} Φ^(s)=∫01k=−∞∑∞φ(x−k)e−2πisxdx=k=−∞∑∞∫−k1−kφ(u)e−2πis(u+k)du=k=−∞∑∞∫−k1−kφ(u)e−2πisue−2πiskdu
注意到傅里叶级数的原函数周期为 1 1 1，因此积分区间 k , 1 + k {k,1+k} k,1+k 对于任何实数 k k k 积分的值都是相同的，同时，因为是级数展开式，因此式中的 s s s 和 k k k 都是整数，于是 e − 2 π i s k = 1 e^{-2\pi isk}=1 e−2πisk=1。最后，我们注意到， k k k 的取值从 − ∞ -\infty −∞ 到 ∞ \infty ∞，相当于积分上下限的增加，最后将增加到 ( − ∞ , ∞ ) (-\infty, \infty) (−∞,∞)。于是，我们得到：
Φ ^ = F φ \hat{\Phi} = \mathscr{F}\varphi Φ^=Fφ
将其代回 ( 3 ) (3) (3)式，我们有
Φ ( x ) = ∑ k = − ∞ ∞ F φ ( k ) e 2 π i k x (4) \Phi(x) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \mathscr{F}\varphi(k) e^{2\pi ikx}\tag 4 Φ(x)=k=−∞∑∞Fφ(k)e2πikx(4)
使 ( 2 ) (2) (2)、 ( 4 ) (4) (4)两式中的 k = 0 k=0 k=0，可得
Φ ( 0 ) = ∑ k = − ∞ ∞ φ ( − k ) = ∑ k = − ∞ ∞ φ ( k ) \Phi(0) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \varphi(-k) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \varphi(k) Φ(0)=k=−∞∑∞φ(−k)=k=−∞∑∞φ(k)
Φ ( 0 ) = ∑ k = − ∞ ∞ F φ ( k ) \Phi(0) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \mathscr{F}\varphi(k) Φ(0)=k=−∞∑∞Fφ(k)
对比求和项，得证
接下来，我们给出一个分布傅里叶变换应用的实例：一维晶体衍射
方便起见，我们研究一维情况，即原子分布在一条无限上的直线上
我们设单个原子的密度为 ρ ( x ) \rho(x) ρ(x)，考虑到量子力学，其实这就是概率密度。接着，我们选定某个原子作为零点，设这些原子两两间隔为 a a a，则整个一维直线上的原子的密度可以表示为所有位置的原子的密度之和，即
ρ a ( x ) = ∑ k = − ∞ ∞ ρ ( x − k a ) \rho_a(x) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \rho(x-ka) ρa(x)=k=−∞∑∞ρ(x−ka)
注意到右边可以表示成， δ \delta δ函数的卷积形式，有
ρ a ( x ) = ∑ k = − ∞ ∞ ρ ( x ) ∗ δ ( x − k a ) = ρ ( x ) ∗ ∑ k = − ∞ ∞ δ ( x − k a ) (5) \rho_a(x) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \rho(x) * \delta(x-ka) = \rho(x) * \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(x-ka) \tag5 ρa(x)=k=−∞∑∞ρ(x)∗δ(x−ka)=ρ(x)∗k=−∞∑∞δ(x−ka)(5)
此时，我们引入Ш函数，我们定义：
Ш a ( x ) = ∑ k = − ∞ ∞ δ ( x − k a ) \hugeШ_a(x) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(x-ka) Шa(x)=k=−∞∑∞δ(x−ka)
( 5 ) (5) (5) 式就可以表示为
ρ a ( x ) = ρ ( x ) ∗ Ш a ( x ) \rho_a(x) = \rho(x) * Ш_a(x) ρa(x)=ρ(x)∗Шa(x)
两边取傅里叶变换，有：
F ρ a ( x ) = ( F ρ ( x ) ) ( F Ш a ( x ) ) (6) \mathscr{F} \rho_a(x) = \left(\mathscr{F} \rho(x) \right) \left(\mathscr{F} Ш_a(x)\right) \tag 6 Fρa(x)=(Fρ(x))(FШa(x))(6)
想解出 ( 6 ) (6) (6) 式，就必须知道 Ш Ш Ш 函数的傅里叶变换，我们先看 Ш Ш Ш 函数的傅里叶变换
首先，当 a = 0 a=0 a=0时，
Ш = ∑ k = − ∞ ∞ δ ( x − k ) Ш = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(x-k) Ш=k=−∞∑∞δ(x−k)
于是，
F Ш = < F Ш , φ > = < Ш , F φ > = < ∑ k = − ∞ ∞ δ ( x − k ) , F φ > = ∑ k = − ∞ ∞ F φ ( k ) \begin{aligned} \mathscr{F}Ш = \left<\mathscr{F}Ш, \varphi \right> &= \left<Ш, \mathscr{F}\varphi \right>\\ &= \left< \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(x-k), \mathscr{F}\varphi \right>\\ &=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\mathscr{F}\varphi(k) \end{aligned} FШ=⟨FШ,φ⟩=⟨Ш,Fφ⟩=⟨k=−∞∑∞δ(x−k),Fφ⟩=k=−∞∑∞Fφ(k)
由泊松求和公式 ( 1 ) (1) (1) 式，可得
< Ш , F φ > = ∑ k = − ∞ ∞ φ ( k ) = < Ш , φ > = Ш \begin{aligned} \left<Ш, \mathscr{F}\varphi \right> &=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \varphi(k)\\ &=\left<Ш, \varphi \right>\\ &=Ш \end{aligned} ⟨Ш,Fφ⟩=k=−∞∑∞φ(k)=⟨Ш,φ⟩=Ш
于是我们就得到了
F Ш = Ш (7) \mathscr{F}Ш = Ш\tag 7 FШ=Ш(7)
接下来看更普通的情况，一下过程用到了 δ ( a x ) \delta(ax) δ(ax)的性质
Ш a ( x ) = ∑ k = − ∞ ∞ δ ( x − k a ) = ∑ k = − ∞ ∞ δ ( a ( x a − k ) ) = 1 a ∑ k = − ∞ ∞ δ ( x a − k ) = 1 a Ш ( x a ) \begin{aligned} Ш_a(x)&=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(x-ka)\\ &=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left( a \left(\frac{x}{a}-k \right) \right)\\ &=\frac{1}{a} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left( \frac{x}{a}-k \right)\\ &=\frac{1}{a} Ш( \frac{x}{a} ) \end{aligned} Шa(x)=k=−∞∑∞δ(x−ka)=k=−∞∑∞δ(a(ax−k))=a1k=−∞∑∞δ(ax−k)=a1Ш(ax)
那么
F Ш a ( x ) = F ( 1 a Ш ( x a ) ) = 1 a F ( Ш ( x a ) ) = 1 a ( a ( F Ш ) ( a x ) ) = Ш ( a x ) = ∑ k = − ∞ ∞ δ ( a x − k ) = ∑ k = − ∞ ∞ δ ( a ( x − k a ) ) = 1 a ∑ k = − ∞ ∞ δ ( x − 1 a k ) = 1 a Ш 1 a \begin{aligned} \mathscr{F}Ш_a(x) = \mathscr{F} \left( \frac{1}{a} Ш( \frac{x}{a} ) \right) &= \frac{1}{a} \mathscr{F} \left( Ш( \frac{x}{a} ) \right)\\ &=\frac{1}{a} \left(a \left(\mathscr{F} Ш \right) ( ax ) \right)\\ &=Ш(ax)\\ &=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta (ax-k)\\ &=\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left(a \left(x-\frac{k}{a} \right) \right)\\ &=\frac{1}{a}\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left(x-\frac{1}{a}k \right)\\ &=\frac{1}{a} Ш _ {\frac{1}{a}} \end{aligned} FШa(x)=F(a1Ш(ax))=a1F(Ш(ax))=a1(a(FШ)(ax))=Ш(ax)=k=−∞∑∞δ(ax−k)=k=−∞∑∞δ(a(x−ak))=a1k=−∞∑∞δ(x−a1k)=a1Шa1
即
F Ш a = 1 a Ш 1 a (8) \mathscr{F}Ш_a = \frac{1}{a} Ш _ {\frac{1}{a}}\tag8 FШa=a1Шa1(8)
Ш
a
Ш_a
Шa 与
F
Ш
a
\mathscr{F}Ш_a
FШa 的部分图像如上图所示，可见他们的间隔互为倒数，
F
Ш
a
\mathscr{F}Ш_a
FШa 的高度是
Ш
a
Ш_a
Шa 的
1
a
\frac{1}{a}
a1 倍（虽然其实箭头指代的都是正无穷）
现在我们回到待解决的 ( 6 ) (6) (6)式，我们将 ( 8 ) (8) (8)式代入 ( 6 ) (6) (6)式中，即可得到：
F ρ a = ( F ρ ) ( 1 a Ш 1 a ) = 1 a ( F ρ ) ∑ k = − ∞ ∞ δ ( x − 1 a k ) = 1 a ∑ k = − ∞ ∞ F ρ ( k a ) δ ( x − k a ) \begin{aligned} \mathscr{F} \rho_a &= \left(\mathscr{F} \rho \right) \left( \frac{1}{a} Ш _ {\frac{1}{a}} \right)\\ &=\frac{1}{a} \left(\mathscr{F} \rho \right) \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta \left(x-\frac{1}{a}k \right)\\ &=\frac{1}{a} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \mathscr{F} \rho \left( \frac{k}{a} \right) \delta \left(x-\frac{k}{a} \right) \end{aligned} Fρa=(Fρ)(a1Шa1)=a1(Fρ)k=−∞∑∞δ(x−a1k)=a1k=−∞∑∞Fρ(ak)δ(x−ak)
从衍射的公式可以看出，一维晶格的衍射图案为一系列间距为 1 p \frac{1}{p} p1的点，各点的强度如上式所示
最后，我们给出Ш函数的一些常用性质
-
采样性
f ( x ) Ш a ( x ) = ∑ k = − ∞ ∞ f ( k a ) δ ( x − k a ) \huge f(x)Ш_a(x) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}f(ka)\delta(x-ka) f(x)Шa(x)=k=−∞∑∞f(ka)δ(x−ka) -
周期性
( f ∗ Ш a ) ( x ) = ∑ k = − ∞ ∞ f ( x − k a ) \huge (f*Ш_a)(x) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}f(x-ka) (f∗Шa)(x)=k=−∞∑∞f(x−ka) -
傅里叶正逆变换
F Ш a = 1 a Ш 1 a \huge\mathscr{F}Ш_a = \frac{1}{a} Ш _ {\frac{1}{a}} FШa=a1Шa1
F − 1 Ш a = 1 a Ш 1 a \huge\mathscr{F}^{-1}Ш_a = \frac{1}{a} Ш _ {\frac{1}{a}} F−1Шa=a1Шa1
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