[EE261学习笔记] 10.分布傅里叶变换以及δ函数的一些性质

在第9部分学习笔记中，我们导出了分布傅里叶变换，用以解决普通傅里叶变换难以解决的一些问题。本文的内容就是在此基础上进一步进行讨论。

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一、分布傅里叶变换的导数相关性质

$$\begin{array}{rl}⟨T^{{}^{\prime }},\phi ⟩& ={\int }_{-\infty }^{\infty }{T}^{{}^{\prime }}(x)\phi (x)dx\\ & ={T(x)\phi (x)|}_{-\infty }^{\infty }-{\int }_{-\infty }^{\infty }T(x)d\phi (x)\end{array}$$

由于是缓增分布，是速降函数，因此当 $x\to \pm \infty$时，$\phi (x)\to 0$， $T(x)\phi (x)\to 0$，于是就有：

$$\begin{array}{rl}⟨T^{{}^{\prime }},\phi ⟩& =0-{\int }_{-\infty }^{\infty }T(x){\phi }^{{}^{\prime }}(x)dx\\ & =-⟨T,{\phi }^{{}^{\prime }}⟩\end{array}$$

这就是我们推导的第一个非常重要的公式：

$$⟨T^{{}^{\prime }},\phi ⟩=-⟨T,{\phi }^{{}^{\prime }}⟩\text{\hspace{1em}(1)}$$

接下来我们举几个例子来应用上述公式，

1. 单位阶跃函数 $u(x)$
   $$u(x)=\{\begin{array}{ll}1& x>0\\ \frac{1}{2}& x=0\\ 0& x<0\end{array}$$
   根据 $(1)$ 式，我们来求它的导数
   $$\begin{array}{rl}{u}^{{}^{\prime }}=⟨u^{{}^{\prime }},\phi ⟩=-⟨u,{\phi }^{{}^{\prime }}⟩& =-{\int }_{-\infty }^{\infty }u(x){\phi }^{{}^{\prime }}(x)dx\\ & =-{\int }_0^{\infty }{\phi }^{{}^{\prime }}(x)dx\\ & =-\left(\phi (\infty )-\phi (0)\right)\\ & =\phi (0)\\ & =⟨\delta ,\phi ⟩\\ & =\delta \end{array}$$
   于是我们就得到了 $u^{{}^{\prime }}=\delta$

2. 信号函数$sgn(x)$
   $$sgn(x)=\{\begin{array}{ll}1& x>0\\ 0& x=0\\ -1& x<0\end{array}$$
   类似地，我们有
   $$\begin{array}{rl}sg{n}^{{}^{\prime }}& =⟨sg{n}^{{}^{\prime }},\phi ⟩\\ & =-⟨sgn,{\phi }^{{}^{\prime }}⟩\\ & =-{\int }_{-\infty }^{\infty }sgn(x){\phi }^{{}^{\prime }}(x)dx\\ & =-\left({\int }_0^{\infty }{\phi }^{{}^{\prime }}(x)dx+{\int }_{-\infty }^0-{\phi }^{{}^{\prime }}(x)dx\right)\\ & =-\left[\left(\phi (\infty )-\phi (0)\right)+\left(-\phi (0)+\phi (-\infty )\right)\right]\\ & =2\phi (0)\\ & =2⟨\delta ,\phi ⟩\\ & =2\delta \end{array}$$
   即$sg{n}^{{}^{\prime }}=2\delta$

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二、分布傅里叶导数定理

类似普通傅里叶变换中讨论的，我们有：

$$\mathcal{F}\left(T^{(n)}\right)={\left(2\pi is\right)}^n\mathcal{F}T$$

$${\left(\mathcal{F}T\right)}^{(n)}=\mathcal{F}\left({\left(-2\pi it\right)}^{n}T\right)$$

例

1. 信号函数$sgn(x)$
   我们要求其傅里叶变换，首先，我们有：
   $$\mathcal{F}\left(sg{n}^{{}^{\prime }}\right)=\mathcal{F}(2\delta )=2$$
   然后根据导数定理，有
   $$\mathcal{F}\left(sg{n}^{{}^{\prime }}\right)=2\pi is\mathcal{F}\left(sgn\right)$$
   联立二式可以得到
   $$\mathcal{F}\left(sgn\right)=\frac{1}{\pi is}$$

2. 单位阶跃函数$u(x)$
   简单来说，我们可以将$u(x)$写成$\frac{1}{2}\left(1+sng(x)\right)$，于是就有
   $$\begin{array}{rl}\mathcal{F}u& =\frac{1}{2}\mathcal{F}\left(1+sng\right)\\ & =\frac{1}{2}\left(\delta +\frac{1}{\pi is}\right)\end{array}$$

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三、函数（分布）与分布的乘积与卷积
注意分布与分布的乘积、卷积很多情况下是没有意义的，但是函数与分布的乘积与卷积大部分情况下是有意义的

1. 函数与分布的乘积公式
   $$⟨fT,\phi ⟩=⟨T,f\phi ⟩$$
   证明如下
   $$\begin{array}{rl}⟨fT,\phi ⟩& ={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)T(x)\phi (x)dx\\ & ={\int }_{-\infty }^{\infty }T(x)\left(f(x)\phi (x)\right)dx\\ & =⟨T,f\phi ⟩\end{array}$$
   两个常见例子：
   a) $f\delta =f(0)\delta$
   $$\begin{array}{rl}f\delta =⟨f\delta ,\phi ⟩& =⟨\delta ,f\phi ⟩\\ & =f(0)\phi (0)\\ & =f(0)⟨\delta ,\phi ⟩\\ & =⟨f(0)\delta ,\phi ⟩\\ & =f(0)\delta \end{array}$$
   b) $f{\delta }_a=f(a){\delta }_a$
   上式被称为${\delta }_a$的抽样特性，是实际应用中一个非常常用的公式

2. 函数与分布的卷积公式
   与普通傅里叶变换类似地，我们有：
   $$\mathcal{F}(f\ast T)=\left(\mathcal{F}f\right)\left(\mathcal{F}T\right)$$
   同样，我们举出一个非常常用的实例
   a) $\mathcal{F}(f\ast \delta )=\left(\mathcal{F}f\right)\left(\mathcal{F}\delta \right)=\mathcal{F}f$
   对等式两边再进行傅里叶逆变换，就有$f\ast \delta =f$，更一般地，我们有：

$$(f\ast {\delta }_a)(x)=f(x-a)$$

3. 分布与分布的卷积公式特例
   一般来说分布与分布的卷积是没有意义的，但是也有例外，比如有一个非常重要的例子：

$${\delta }_a\ast {\delta }_b={\delta }_{a+b}$$

四、$\delta (ax)$

从便于计算的角度出发推导，不必刻意寻求物理意义，我们可以得到

$$\delta (kx)=\frac{1}{|k|}\delta (x)$$

证明如下

$$\delta (kx)=⟨\delta (kx),\phi ⟩={\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (kx)\phi (x)dx$$

令 $u=kx$，讨论 $k\ge 0$ 的情况，有

$$\begin{array}{rl}\delta (kx)& ={\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (u)\phi (\frac{u}{k})d\left(\frac{u}{k}\right)\\ & =\frac{1}{k}⟨\delta (u),\phi (\frac{u}{k})⟩\\ & =\frac{1}{k}\phi (0)\\ & =\frac{1}{k}⟨\delta ,\phi ⟩\\ & =\frac{1}{k}\delta (kx)\end{array}$$

同理可得 $k<0$ 的情况，得证。