[EE261学习笔记] 15.快速傅里叶变换(FFT)原理

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本文介绍了快速傅里叶变换(FFT)的基本概念及其相对于离散傅里叶变换(DFT)的优势。通过数学推导展示了如何利用递归方式降低计算复杂度，最终达到O(NlogN)的时间效率。

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简单回顾

快速傅里叶变换，其实是离散傅里叶变换的一种改进算法

我们先来回忆一下离散傅里叶变换(DFT)：

$Ff[m]‾=∑n=0N−1f[n]‾ω[m]‾−n(1)\underline{\mathscr{F}f[m]} = \sum_{n=0}^{N-1} \underline{f[n]} \underline{\omega[m]}^{-n} \tag1$

其中 $ω[m]‾=e2πimN\underline{\omega[m]} = e^{2\pi i\frac{m}{N}}$

对应的矩阵形式为：

$[Ff[0]‾Ff[1]‾⋮Ff[N−1]‾]=[11⋯11ω‾−1⋅1⋯ω‾−1⋅(N−1)⋮⋮⋱⋮1ω‾−(N−1)⋅1⋯ω‾−(N−1)2][f[0]‾f[1]‾⋮f[N−1]‾]\begin{bmatrix} \underline{\mathscr{F}f[0]}\\ \underline{\mathscr{F}f[1]}\\ \vdots\\ \underline{\mathscr{F}f[N-1]} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & \underline{\omega}^{-1 \cdot 1} & \cdots & \underline{\omega}^{- 1 \cdot (N-1)} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & \underline{\omega}^{-(N-1) \cdot 1} & \cdots & \underline{\omega}^{-(N-1)^2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \underline{f[0] } \\ \underline{f[1]} \\ \vdots\\ \underline{f[N-1]} \end{bmatrix}$

不难发现，如果要对 $N$ 个采样点进行DFT，则时间复杂度为 $\left( N^2\right)$

接下来，我们将讲解时间复杂度为 $\left( N \log N \right)$ 的FFT算法

为了书写方便，我们记

$ω‾[p,q]=e2πiqp(2)\underline{\omega}[p, q] = e^{2\pi i \frac{q}{p}} \tag 2$

这样， $ω[m]‾\underline{\omega[m]}$ 就可以改写为

$ω[m]‾=e2πimN=ω‾[N,m]\underline{\omega[m]} = e^{2\pi i \frac{m}{N}} = \underline{\omega}[N, m]$

同时，不难发现，

$ω‾[N,n+m]=e2πin+mN=e2πinNe2πimN=ω‾[N,n]ω‾[N,m]\underline{\omega}[N, n+m] = e^{2\pi i \frac{n+m}{N}} = e^{2\pi i \frac{n}{N}}e^{2\pi i \frac{m}{N}} = \underline{\omega}[N, n]\underline{\omega}[N, m]$

$ω‾[N2,−nm]=e−2πinmN2=e−2πi2nmN=ω‾[N,−2nm]\underline{\omega}[\frac{N}{2}, -nm] = e^{-2\pi i \frac{nm}{\frac{N}{2}}} = e^{-2\pi i \frac{2nm}{N}} = \underline{\omega}[N, -2nm]$

FFT推导

FFT的核心思想就是：将DFT的 $\times N$ 矩阵该写为对几个 $N2×N2\frac{N}{2} \times \frac{N}{2}$ 的矩阵的操作，并用这种方式进行递归，最后得到FFT

首先，我们将 $(1)$ 式拆分为奇数、偶数两部分，即

$Ff[m]‾=∑n=0N−1f[n]‾ω[m]‾−n=(f[0]‾ω[m]‾−0+f[2]‾ω[m]‾−2+⋯+f[N−2]‾ω[m]‾−(N−2))+(f[1]‾ω[m]‾−1+f[3]‾ω[m]‾−3+⋯+f[N−1]‾ω[m]‾−(N−1))=∑n=0N2−1f[2n]‾ω[m]‾−2n+∑n=0N2−1f[2n+1]‾ω[m]‾−(2n+1)\begin{aligned} \underline{\mathscr{F}f[m]} &= \sum_{n=0}^{N-1} \underline{f[n]} \underline{\omega[m]}^{-n}\\ & = \left( \underline{f[0]} \underline{\omega[m]}^{-0} + \underline{f[2]} \underline{\omega[m]}^{-2} + \dots + \underline{f[N-2]} \underline{\omega[m]}^{-\left(N-2 \right)} \right) + \left( \underline{f[1]} \underline{\omega[m]}^{-1} + \underline{f[3]} \underline{\omega[m]}^{-3} + \dots + \underline{f[N-1]} \underline{\omega[m]}^{-\left(N-1 \right)} \right)\\ &=\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1} \underline{f[2n]} \underline{\omega[m]}^{-2n} + \sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1} \underline{f[2n+1]} \underline{\omega[m]}^{-(2n+1)} \end{aligned}$

利用 $(2)$ 式，可将上式改写为

$Ff[m]‾=∑n=0N2−1f[2n]‾ω‾[N,−2nm]+∑n=0N2−1f[2n+1]‾ω‾[N,−(2n+1)m]=∑n=0N2−1f[2n]‾ω‾[N,−2nm]+∑n=0N2−1f[2n+1]‾ω‾[N,−2nm]ω‾[N,−m]=∑n=0N2−1f[2n]‾ω‾[N2,−nm]+ω‾[N,−m]∑n=0N2−1f[2n+1]‾ω‾[N2,−nm](3)\begin{aligned} \underline{\mathscr{F}f[m]} &=\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1} \underline{f[2n]} \underline{\omega}[N, -2nm] + \sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1} \underline{f[2n+1]} \underline{\omega}[N, -(2n+1)m]\\ &=\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1} \underline{f[2n]} \underline{\omega}[N, -2nm] + \sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1} \underline{f[2n+1]} \underline{\omega}[N, -2nm]\underline{\omega}[N, -m]\\ &=\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1} \underline{f[2n]} \underline{\omega}[\frac{N}{2}, -nm] + \underline{\omega}[N, -m] \sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1} \underline{f[2n+1]} \underline{\omega}[\frac{N}{2}, -nm]\tag 3 \end{aligned}$

注意我们要使用递归来计算的话，必须把式子写成矩阵形式，那么 $(3)$ 式就可以写为：

$F‾Nf[m]‾=FN2feven[m]‾+ω‾[N,−m]FN2fodd[m]‾(4)\underline\mathscr{F}_N \underline{f[m]} = \underline{\mathscr{F}_{\frac{N}{2}}f_\text{even}[m]} + \underline{\omega}[N, -m]\underline{\mathscr{F}_{\frac{N}{2}}f_\text{odd}[m]} \tag4$

我们仔细看看从 $(3)$ 式的求和形式到 $(4)$ 的矩阵矩阵形式， $(3)$ 式完全是没有问题的，但是 $(4)$ 式却有问题： $(4)$ 式中的 $F‾N2\underline\mathscr{F}_{\frac{N}{2}}$ 是 $N2×N2\frac{N}{2} \times \frac{N}{2}$ 的矩阵，那么与之相乘的矩阵必然有 $N2\frac{N}{2}$ 行，也就是说 $\leq \frac{N}{2}-1$ 。换句话说， $(4)$ 式计算出的其实是 $F‾N\underline\mathscr{F}_N$ 的前半部分。

那么对于 $\in [\frac{N}{2}, N-1]$ 的情况，应该如何写出相应的矩阵形式呢？我们将 $(3)$ 式左边的系数写成 $m+N2m+\frac{N}{2}$ ，这样一来， $m$ 的取值依然是 $\frac{N}{2}-1]$ 。于是就有：

$Ff[m+N2]‾=∑n=0N2−1f[2n]‾ω‾[N2,−n(m+N2)]+ω‾[N,−(m+N2)]∑n=0N2−1f[2n+1]‾ω‾[N2,−n(m+N2)]=∑n=0N2−1f[2n]‾ω‾[N2,−nm]ω‾[N2,−nN2]+ω‾[N,−m]ω‾[N,−N2]∑n=0N2−1f[2n+1]‾ω‾[N2,−nm]ω‾[N2,−nN2](5)\begin{aligned} \underline{\mathscr{F}f[m+\frac{N}{2}]} & = \sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1} \underline{f[2n]} \underline{\omega}[\frac{N}{2}, -n \left(m+\frac{N}{2}\right) ] \\ & +\underline{\omega}[N, -\left(m+\frac{N}{2}\right)] \sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1} \underline{f[2n+1]} \underline{\omega}[\frac{N}{2}, -n\left(m+\frac{N}{2}\right)] \\ & = \sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1} \underline{f[2n]} \underline{\omega}[\frac{N}{2}, -nm ] \underline{\omega}[\frac{N}{2}, -n \frac{N}{2}]\\ &+\underline{\omega}[N, -m] \underline{\omega}[N, -\frac{N}{2}] \sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1} \underline{f[2n+1]} \underline{\omega}[\frac{N}{2}, -nm] \underline{\omega}[\frac{N}{2}, -n\frac{N}{2}] \tag5 \end{aligned}$

注意到，

$ω‾[N2,−nN2]=e−2πin=1\underline{\omega}[\frac{N}{2}, -n\frac{N}{2}] = e^{-2\pi in} = 1$

$ω‾[N,−N2]=e−πi=−1\underline{\omega}[N, -\frac{N}{2}] = e^{-\pi i} = -1$

带入 $(5)$ 式，有：

$Ff[m+N2]‾=∑n=0N2−1f[2n]‾ω‾[N2,−nm]−ω‾[N,−m]∑n=0N2−1f[2n+1]‾ω‾[N2,−nm]\underline{\mathscr{F}f[m+\frac{N}{2}]} = \sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1} \underline{f[2n]} \underline{\omega}[\frac{N}{2}, -nm ] - \underline{\omega}[N, -m] \sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1} \underline{f[2n+1]} \underline{\omega}[\frac{N}{2}, -nm]$

写成矩阵的形式，即

$F‾Nf[m+N2]‾=FN2feven[m]‾−ω‾[N,−m]FN2fodd[m]‾(6)\underline\mathscr{F}_N \underline{f[m+\frac{N}{2}]} = \underline{\mathscr{F}_{\frac{N}{2}}f_{even}[m]} - \underline{\omega}[N, -m]\underline{\mathscr{F}_{\frac{N}{2}}f_{odd}[m]} \tag6$

结合 $(4)$ ， $(6)$ 两式，我们可以得到FFT的矩阵递归式：

$F‾Nf[m]‾=FN2feven[m]‾+ω‾[N,−m]FN2fodd[m]‾\huge\underline\mathscr{F}_N \underline{f[m]} = \underline{\mathscr{F}_{\frac{N}{2}}f_\text{even}[m]} + \underline{\omega}[N, -m]\underline{\mathscr{F}_{\frac{N}{2}}f_\text{odd}[m]}$

$F‾Nf[m+N2]‾=FN2feven[m]‾−ω‾[N,−m]FN2fodd[m]‾\huge\underline\mathscr{F}_N \underline{f[m+\frac{N}{2}]} = \underline{\mathscr{F}_{\frac{N}{2}}f_{even}[m]} - \underline{\omega}[N, -m]\underline{\mathscr{F}_{\frac{N}{2}}f_\text{odd}[m]}$

其中 $m∈[0,N2−1]m\in [0, \frac{N}{2}-1]$ ，第一个等式为前 $N2\frac{N}{2}$ 项，第二个等式为后 $N2\frac{N}{2}$ 项

这个式子很明确地告诉我们：

FFT实际上就是将DFT的矩阵，通过一定的方式进行拆分，从而降低时间复杂度的一种算法

FFT的时间复杂度

有了递归式，我们就可以来算时间复杂度。

方便起见，我们将矩阵写成 $[n×m]\left[ n \times m \right]$ ，其中 $n$ ， $m$ 分别表示行列数。并设 $N = 2^k$

那么前 $N2\frac{N}{2}$ 项就可以写成

$[N2×N2]+CN[N2×N2]\left[ \frac{N}{2} \times \frac{N}{2} \right] + C_N \left[ \frac{N}{2} \times \frac{N}{2} \right]$

其中 $C_N$ 为一常数，该式花费的时间为 $o([N2×N2])+1+o([N2×N2])o\left( \left[ \frac{N}{2} \times \frac{N}{2} \right] \right) + 1 + o\left( \left[ \frac{N}{2} \times \frac{N}{2} \right] \right)$ ，其中 $1$ 就是常数相乘的操作

对于后 $N2\frac{N}{2}$ 项，由于对应的矩阵、常数都是相同的，因此只需要额外进行 $1$ 次操作即可

我们把 $\times n$ 的矩阵记为 $[n]$ ，并把 $m$ 个不同的常数相乘记为 $C^m$ ，则如下图

这里写图片描述

注意图中 $\dots + 2^{k-1}$ 是前文提到的后 $N2\frac{N}{2}$ 项的计算量，需要进行累加计算。到最后一项时，它的累积值为 $2^n-1$

不难发现，递归至最后一项时，总计算次数应为（图中最后一行以及虚线框内）：

$0⋅(0k)+1⋅(1k)+⋯+k⋅(kk)+(2k)+(2k−1)+(2k)(7)0\cdot\binom{0}{k} + 1\cdot\binom{1}{k} + \dots + k\cdot \binom{k}{k} + (2^k) + (2^k-1) +(2^k)\tag7$

简单解释一下上式

前面的各项排列组合表示的是各个常数 $C^x$ 所需的计算时间，如系数 $C^k$ 只在最后一个一阶矩阵前出现，计算量为 $k⋅(kk)=kk\cdot \binom{k}{k}=k$ 次，又如系数 $C^1$ 必然会出现 $(1k)\binom{1}{k}$ 次，因此计算量为 $1⋅(1k)=k1\cdot \binom{1}{k}=k$ ；
第一个 $2^n$ 表示的是所有 $1$ 阶矩阵的计算时间总和；
$2^n-1$ 表示的是后 $N2\frac{N}{2}$ 项的计算量；
第二个 $2^n$ 表示的是计算所有加号花费的时间

$(7)$ 式不容易计算，但是我们可以直观地估计一下，对于前面的阶乘项，最多用时为 $k$ 次，最少为 $1$ 次，那么不严格地估计一下，我们取平均 $k+12\frac{k+1}{2}$ 次，这样共需要计算 $N$ 次（有 $N$ 个 $[1]$ ），因此时间复杂度应为：

$o((Nk2)+3N−1)=o(12Nlog⁡2N+3N−1)=o(Nlog⁡2N)o\left( \left( N\frac{k}{2} \right) +3N-1 \right) = o\left( \frac{1}{2} N \log _2 N +3N-1 \right) = o\left( N \log _2 N \right)$