级数求和的八个公式_Poisson 求和公式及其应用

最新推荐文章于 2023-04-29 21:38:31 发布

weixin_39775976

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文章标签：级数求和的八个公式

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本文深入探讨了Poisson求和公式在数学中的重要地位，特别是其在Theta函数、Gamma函数、Riemann Zeta函数、Bernoulli数等方面的应用。通过一系列定理证明和例子，阐述了该公式的理论与实际价值，揭示了其与级数求和的深刻联系。

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Poisson 求和公式是调和分析中非常重要的一个公式，在诸多数学分支中有着广泛的应用. 本文首先简要介绍了 Poisson 求和公式，然后借助 Poisson 求和公式得到了 Theta 函数

的函数方程，进而由此方程给出了 Riemann Zeta 函数

的解析延拓，最后再次运用 Poisson 求和公式得到了

在除正奇数外所有整点处的值.

1. Poisson 求和公式

首先定义所谓的 Schwartz 空间

其中

为任意的非负整数.

设

, 则函数

另一方面，由于

, 则函数

Poisson 求和公式说上述两种方式构造出来的函数其实是一样的，即

定理 1：若

, 则

特别地，在

处有

证明：由于 Poisson 求和公式也可以理解为函数

的 Fourier 系数恰好为

, 故直接计算有

注 1：定理 1 中

的条件可以适当减弱，仅需保证

绝对且局部一致收敛和

绝对收敛即可.

2. Theta 函数

当

时，我们定义

我们称这个函数为 Theta 函数.

定理 2：Theta 函数

满足函数方程

证明：令

，则容易求得

从而由 Poisson 求和公式可得

3. Gamma 函数

当

时，我们称解析函数

为 Gamma 函数.

定理 3： 当

时，有递推公式

. 特别地，当

时, 有

证明：直接计算有

定理 4：

可以延拓成

上的一个亚纯函数，

为其单极点.

证明：借助 定理 3 中建立的递推公式，当

时，我们定义

则

在半平面

上除单极点

外解析. 且当

时,

从而

为

的解析延拓. 类似地，当

时，我们定义

则

在半平面

上除单极点

外解析. 且当

时,

从而

为

的解析延拓. 借助此递推关系我们可以将

延拓成

上的一个亚纯函数，

为其单极点，且仍然满足

注 2：除了上述结论外，

还满足

(1) .

(2) .

上述两个重要的公式分别称为余元公式和 Legendre 加倍公式，其证明颇费笔墨，故不在此详述. 由余元公式知，当

时，

；而由

定理 3 知，当

时，

. 又由

定理 4 可知

为

的单极点，从而

为整函数，且

为其零点.

4. Riemann Zeta 函数

当

时，称函数

为 Riemann Zeta 函数.

在半平面

上解析.

定理 5：

可以延拓成

上的一个亚纯函数，

为其唯一的单极点.

证明：当

时，构造函数

其中

为整函数，而

从而

容易看出

为亚纯函数，

和

为其唯一的单极点，且

满足函数方程

. 由

注 2 知

为整函数，且

为其零点. 故

为

的解析延拓，

为其唯一的单极点. 从而

可以延拓成

上的一个亚纯函数，

为其唯一的单极点，且

为其零点.

注 3：

称为

的平凡零点，

的其他零点称为非平凡零点. 可以证明

的非平凡零点一定在带型区域

内，而著名的 Riemann 猜想则进一步断言：

的非平凡零点一定在直线

上.

5. Bernoulli 数

我们定义 Bernoulli 数

为

定理 6：

，且当

时，有

证明：由 Bernoulli 数的定义知

比较系数得

，且当

时，有

化简得

定理 7： 当

时，

证明：由 Bernoulli 数的定义及 定理 6 知

又易知函数

为偶函数，从而当

时，

注 4：由 定理 6 和 定理 7 可以将 Bernoulli 数逐个算出：

，

的值

由 注 3 可知，当

时，

. 下面我们求

在其他整点处的值.

定理 8：

证明：由 定理 4 和 定理 5 可知

从而

定理 9：当

时，我们有

证明：考虑函数

，其中

. 则直接计算容易求得

又由 Poisson 求和公式可得

而由 定理 6 和 定理 7 可知

其中

. 从而

另一方面，直接计算有

比较上述两式得

由幂级数展开式的唯一性，我们最终可得

注 5：对于上述公式，当

时，有

即

这就是著名的 Basel 问题，最终被大数学家 Euler 解决. 此外，我们还可以把定理 8 和 定理 9 的结果合并为：当

时，有

定理 10：当

时，我们有

证明：直接计算有

注 6：由于当

时，我们有

再结合 定理 10 的结论知，当

时，有

本节我们求出了

在除正奇数外所有整点处的值. 但当

时，求

的值却一直是一个悬而未解的难题. 目前仅有的比较好的结果是：

(1) .

是无理数.

(2) .

四个数中至少有一个是无理数.

以上结果分别由 Apery 和 Zudilin 得到.

参考文献：

Deitmar：A First Course in Harmonic Analysis (Second Edition).
Stein and Shakarchi：Fourier Analysis : An Introduction.
Stein and Shakarchi：Complex Analysis.
Dwilewicz and Minac : Values of the Riemann zeta function at integers.