【NOIP2004】合唱队形题解

本文介绍了一种利用最长上升子序列和最长下降子序列解决合唱队形问题的方法,并提供了详细的算法实现步骤及C++代码示例。

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题面

Description

N位同学站成一排,音乐老师要请其中的(N-K)位同学出列,使得剩下的K位同学排成合唱队形。
合唱队形是指这样的一种队形:设K位同学从左到右依次编号为1, 2, …, K,他们的身高分别为T1, T2, …, TK,则他们的身高满足T1 < T2 < … < Ti , Ti > Ti+1 > … > TK (1 <= i <= K)。
你的任务是,已知所有N位同学的身高,计算最少需要几位同学出列,可以使得剩下的同学排成合唱队形。

Input

输入的第一行是一个整数N(2 <= N <= 100),表示同学的总数。第一行有n个整数,用空格分隔,第i个整数Ti(130 <= Ti <= 230)是第i位同学的身高(厘米)。

Output

输出包括一行,这一行只包含一个整数,就是最少需要几位同学出列。

Sample Input

8
186 186 150 200 160 130 197 220

Sample Output

4

题解

分析

题目要求很像最长上升子序列,因此可以用类似的方法:
用f(i)记录1~i的最长上升子序列
用g(i)记录i~n的最长下降子序列
那么ans=max{n(f(i)+g(i)1)}(1<=i<=n)
AC!!!

代码

# include<iostream>
# include<cstdio>
using namespace std;

int a[1001],f[1001],g[1001],n,ans;
void init()
{
     int i;
     freopen("chorus.in","r",stdin);
     scanf("%d",&n);
     for (i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
}
void dp()
{
     int i,j;
     f[1]=1;
     for (i=2;i<=n;i++) {
         f[i]=0;
         for (j=1;j<=i-1;j++) 
             if ((a[j]<a[i])&&(f[j]>f[i])) f[i]=f[j];
         f[i]+=1;
     }
     g[n]=1;
     for (i=n-1;i>=1;i--) {
         g[i]=0;
         for (j=i+1;j<=n;j++) 
             if ((a[j]<a[i])&&(g[j]>g[i])) g[i]=g[j];
         g[i]+=1;
         }
     ans=0;
     for (i=1;i<=n;i++)
         if (f[i]+g[i]-1>ans) 
            ans=f[i]+g[i]-1;
}
void print()
{
     freopen("chorus.out","w",stdout);
     printf("%d",n-ans);
}
int main()
{
    init();
    dp();
    print();
}

冰冻三尺,非一日之寒

### NOIP 2004 提高组 合唱队形 C语言解决方案 #### 题目概述 题目要求从 \( n \) 名学生中选出若干名,使这些学生的身高形成合唱队形。具体来说,存在一位最高的学生位于中央位置,其左侧的学生按降序排列,右侧的学生按升序排列。 为了实现这一目标,可以通过动态规划来解决问题[^1]。 #### 动态规划解法分析 该问题的核心在于找到最长上升子序列(LIS) 和 最长下降子序列(LDS),并结合两者的结果得出最终答案。对于每一位同学,计算两个数组 `L` 和 `R`: - 数组 `L[i]` 表示以第 \(i\) 位同学结尾的最大递减序列长度; - 数组 `R[i]` 表示以第 \(i\) 位同学开头的最大递增序列长度; 最后遍历所有可能的位置作为最高点,选取最优解即最小移除人数。 #### 示例代码 以下是完整的C语言程序实现上述逻辑: ```c #include <stdio.h> #define MAXN 100 + 5 int a[MAXN], L[MAXN], R[MAXN]; int main() { int N, ans = 0; scanf("%d", &N); for (int i = 1; i <= N; ++i) scanf("%d", &a[i]); // 计算左边最大递减序列长度 for (int i = 1; i <= N; ++i){ L[i] = 1; for (int j = 1; j < i; ++j) if (a[j] > a[i]) L[i] = ((L[i])>(L[j]+1)?(L[i]):(L[j]+1)); } // 计算右边最大递增序列长度 for (int i = N; i >= 1; --i){ R[i] = 1; for (int j = N; j > i; --j) if (a[j] > a[i]) R[i] = ((R[i])>(R[j]+1)?(R[i]):(R[j]+1)); } // 寻找最佳分割点 for (int i = 1; i <= N; ++i) ans = ((ans)>((L[i] + R[i] - 1))?(ans):(L[i] + R[i] - 1)); printf("%d\n", N - ans); return 0; } ``` 此段代码实现了合唱队形问题的高效求解方法,通过两次扫描分别获取每个位置上的左半部分和右半部分的最佳匹配情况,并据此决定最少需要让多少人离开队伍才能满足条件[^3]。
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