约瑟夫问题——其中一种算法的理解(神级代码)

最新推荐文章于 2025-02-10 14:54:09 发布

DevinWain

最新推荐文章于 2025-02-10 14:54:09 发布

阅读量601

点赞数

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_21503139/article/details/84986972

版权

约瑟夫问题

据说著名犹太历史学家 Josephus有过以下的故事：

在罗马人占领乔塔帕特后，39 个犹太人与Josephus及他的朋友躲到一个洞中，39个犹太人决定宁愿死也不要被敌人抓到，于是决定了一个自杀方式，41个人排成一个圆圈，由第1个人开始报数，每报数到第3人该人就必须自杀，然后再由下一个重新报数，直到所有人都自杀身亡为止。然而Josephus 和他的朋友并不想遵从。所以Josephus要他的朋友先假装遵从，他将朋友与自己安排在第16个与第31个位置，于是逃过了这场死亡游戏。

一般性描述

为了探索约瑟夫问题的奥秘，我们不妨现将问题简化。

已知n个人（以编号1，2，3...n分别表示）围坐在一张圆桌周围。从编号为1的人开始报数，数到3的那个人出列；他的下一个人又从1开始报数，数到m的那个人又出列；依此规律重复下去，直到圆桌仅剩下一个人。

神级代码（摘抄）

#include<stdio.h>
int main()
{
	int i,r=0,people;
	scanf("%d",&people);
	for(i=2;i<=people;i++)
		r=(r+3)%i;
	printf("%d\n",r+1);
	return 0;
}

个人理解

上面的代码十分简洁地解决了这个问题，它的核心到底是什么，我来谈谈我的看法。研究这个问题，我们可以统一将编号减一（即0，1，2……n-1），数到2的人被淘汰，这样进行取余时可以与编号对应。

那我们先取n=10吧，首先将编号展开：

①【0，1，2，3，4，5，6，7，8，9】

由此可知 编号2将被淘汰。更新一次列表：

②【0，1，3，4，5，6，7，8，9】

此时报数将从编号3开始，我们不妨再将它设为0，即把所有编号减3，为了得到圆桌的循环，我们将前面的两个负数加上上一次的人数10，可以得到：

③【7，8，0，1，2，3，4，5，6】

继续淘汰2号，重复上一步的步骤：

④【4，5，6，7，0，1，2，3】

一直到最后我们得到【1，0】，这时候我们没有2了怎么办？

因为这是圆桌循环，模拟出来便是编号0数0，编号1再数1，回到编号0数1（被淘汰），不难发现淘汰的人就是2%2=0。

再进一步我们可以推出当报数上限m-1（本例中为m-1=2）≥剩下的人数n时，淘汰的编号是（m-1）%n。

接下来编号1再变为0，得到【0】

此时的编号0就是胜利者。

而神级代码的核心就是从这个0出发，找到了它原来的编号，具体实现步骤如下：

比如，表④中的0加上3得到它在表③中的编号3，再加上3得到它在表②中的编号⑥。

从上面的分析中，我们知道每次报数我们都会减3产生一个新的列表,那么新编号加上3就可以得到它在上一列表中的编号。
我们从胜利者编号0出发，先加上3，但是上一列表显然只有0，1，我们从上面的分析中得到启示，那不妨这样处理：
（初处理）上一列表【3】补充完整后【0，1，2，3】

（实际步骤）上一列表【0，1，0（淘汰），1】

这样我们发现，越界后还是取余，被除数是上一列表的元素个数，这样就能得到正常的编号。
当没有发生越界情况时，我们仍然可以像步骤2那样取余，结果无影响。因此我们就知道了神级代码中的：

r=(r+3)%i 的具体含义 （r 初始化为0说明最后剩下编号0，对编号0进行回溯，i初始化为2是因为上一列表还有两个元素，然后i自增也就是列表中的元素慢慢增加，直到达到原来的人数，完成后记得r+1，毕竟一开始减了1）

进阶

神级代码解决了只剩1人时的情形，但是约瑟夫问题最后剩下2人，那又该如何处理呢？

不难发现，我们只需要对 i 与 r 进行一定的修改，即可达到目的（甚至达到更多的要求）。具体就不多说了，直接贴上代码。

#include<stdio.h>
int main()
{
	int jose(int sum,int numb,int rest,int old);
	int n,old,people,left;
	printf("请输入总人数：\n");
	scanf("%d",&people);
	printf("请输入口令上限：\n");
	scanf("%d",&n);
	printf("请输入留下的人数：\n");
	scanf("%d",&left);
	printf("留下的人是：\n");
	for(old=0;old<left;old++)	
		printf("%d\n",jose(people,n,left,old));
	return 0;
}
int jose(int sum,int numb,int rest,int old)// sum是总人数，numb口令上限
{                                         //rest是要求剩下的人数，old是剩下的编号
	int temp=rest;//temp作为临时变量，因为rest会修改
	for(rest=temp+1;rest<=sum;rest++)
		old=(old+numb)%rest;
	return old+1;
}