bzoj4001 tjoi2015 概率论 卡特兰数

来大概推理一下卡特兰数的通项公式的证明（折线法不难，这里只写下生成函数版本）

这里首先就是求i个点随机有根二叉树的个数，设为$f_i$
其实这个就是卡特兰数
我们可以枚举一个儿子的大小
那么就会有$f_i={\sum }_{i=0}^{i-1}{f}_i\ast f_{n-i-1}$
那么就会有$F(x)=F(x)F(x)x+1$
会解出来
$$F(x)=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}$$
其中为加号的那个根，在代入$x=0$的时候发现要舍去
然后我们把这个展开
直接求麦劳克林级数
发现就是
$$F(x)=\sum _{i=0}^{\infty }\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2i}{i}\right)}{i+1}{x}^i$$
那么就求出来了通项公式
但是这题是叶子节点数量
我们同样可以考虑递推公式，设这个结果为$g_i$
那么有
$$g_i=2\sum _{j=0}^{i-1}{g}_i\ast f_{n-i-1}$$
那么就有
$$G(x)=2G(x)F(x)x+x$$
代入$F(x)$
可以解出
$$G(x)=\frac{x}{\sqrt{1-4x}}$$
同样大力求麦劳克林级数，有
$$G(x)=\sum _{i=0}^{\infty }\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2i-2}{i-1}\right)x^i$$
然后直接拿系数比一下就得到
$$\frac{G(x)[x^n]}{F(x)[x^n]}=\frac{n(n+1)}{2(2n-1)}$$

注意输出要直接保留9位小数，多保留会WA