UVA-12716 GCD=XOR(枚举+预处理)

最新推荐文章于 2022-08-27 18:06:38 发布

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本文详细解析了UVA-12716题目，探讨了如何寻找满足特定条件的整数对(a,b)，并分享了一种高效算法实现，将时间复杂度从O(n(logn)^2)优化到O(nlogn)。

传送门：https://cn.vjudge.net/problem/UVA-12716

题意：

输入整数n(1<=n<=30000000)，有多少对整数(a,b)满足：1<=b<=a<=n，且gcd(a,b)=a XOR b。例如n=7时，有4对：(3,2)，(5,4)，(6,4)，(7,6)。

分析:

看上去很难，因为gcd和xor似乎没啥关联。不过xor的好处是:a xor b=c，则a xor c=b。所以可以枚举a和c，然后算出b=a xor c，最后验证是否有gcd(a,b)=c。时间复杂度如何？约为O(n(logn)^2)。

还可以优化。上述程序写出来后，可以打印一些满足gcd(a,b)=a xor b=c的三元组(a,b,c)，然后很容易发现：c=a-b。

证明如下：不难发现a-b<=a xor b，且a-b>=c。假如存在c使得a-b>c，则c<a-b<=a xor b，这与c=a xor b矛盾。

于是时间复杂度降为了O(nlogn)。

还有一个坑点，时间要求为5s，需要预处理！！！

代码：

#include<bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
using namespace std;
const ll maxn=3e7+10;
ll f[maxn];
int gcd(int a,int b){
	return b==0?a:gcd(b,a%b);
} 
int main(){
	int t,n,a,b,c;
	memset(f,0,sizeof(f));
	for(c=1;c<=maxn/2;c++){
		for(a=2*c;a<maxn;a+=c){
			b=a-c;
			if((a xor b)==c){
				f[a]++;
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<maxn;i++)
		f[i]+=f[i-1];
	scanf("%d",&t);
	for(int k=1;k<=t;k++){
		scanf("%d",&n);
		printf("Case %d: %lld\n",k,f[n]);
	}
	return 0;
}