UVA-10791 最小公倍数的最小和(唯一分解定理)

最新推荐文章于 2021-09-10 17:52:23 发布

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本文解析了UVA-10791题目的算法思路，通过使用唯一分解定理来求解最小公倍数为n的至少两个正整数，使它们的和最小。详细介绍了特殊条件处理及代码实现。

传送门：https://cn.vjudge.net/problem/UVA-10791

题意：

输入整数n(1<=n< $2^{31}-1$ )，求至少两个正整数n，使得它们的最小公倍数为n，且这些整数的和最小。输出最小的和。

分析：

用唯一分解定理即可。设唯一分解式为 $n=a_{1}^{p1}*a_{2}^{p2}$ ···，不难发现每个 $a_{i}^{pi}$ 作为一个单独的整数时最优。

如果就这样匆匆编写程序，可能会掉入陷阱。因为有好几个特殊情况要处理：

1、n==1时答案为1+1=2。

2、n只有一种因子时需要加个1。

3、注意n= $2^{31}-1$ 时不要溢出。

4、求解唯一分解式时可能遇到n为大素数，此时注意求解完后n是否为1！！！

代码:

#include<bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
using namespace std;

const int N = 2e5 + 5;
bool isprime[N];
int cntp=0, prime[N/10], phi[N], e[N/10];
 
void init(){
    memset(isprime, 1, sizeof(isprime));
    isprime[0] = isprime[1] = 0; cntp = 0;
    phi[1] = 1;
    for(int i = 2; i < N; ++i){
        if(isprime[i]){
            prime[++cntp] = i;
            phi[i] = i - 1;
        }
        for(int j = 1; j <= cntp && i * prime[j] < N; ++j){
            isprime[i * prime[j]] = 0;
            if(i % prime[j] == 0){
                phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];
                break ;
            }
            phi[i * prime[j]] = phi[i] * phi[prime[j]];
        }
    }
}
ll qsm(ll a,ll b){
	ll res=1;
	while(b){
		if(b&1)
			res*=a;
		a*=a;
		b>>=1;
	}
	return res;
}
int main(){
	init();
	ll n,k=1,ans,num;
	while(~scanf("%lld",&n)&&n){
		if(n==1){
			ans=2;
		}else{
			ans=num=0;
			memset(e,0,sizeof(e));
			for(int i=1;i<=cntp;i++){
				while(n%prime[i]==0){
					n/=prime[i];
					e[i]++;
				}
				if(e[i]>0){
					ans+=qsm(prime[i],e[i]);
					num++;
				}
				if(n==1) break;
			}
			if(n!=1){
				num++;
				ans+=n;
			}
			if(num==1)
				ans++;
		}
		printf("Case %lld: %lld\n",k++,ans);
	}
	return 0;
}