UVA-1363 约瑟夫的数论问题

最新推荐文章于 2020-02-22 15:53:53 发布

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本文介绍了一种计算特定数列之和的有效方法，通过枚举等差数列并求和，特别关注于如何快速找到满足条件的最大下标j。讨论了当比例p大于0时的处理方式，并给出了完整的C++实现代码。

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题意：

输入正整数n和k(1<=n,k<= $10^{9}$ )，计算 $\sum_{i=1}^{n}k\, mod\, i$

分析：

根据紫书，假设k/i的整数部分等于p，则k mod i=k-i*p。于是从i,i+1,i+2,······,j，k除以它们的商的整数部分都相同，则k除以它们的余数会是一个等差数列。

这样，可以在枚举i时把它所在的等差数列之和累加到答案中。这需要计算满足[k/j]和[k/i]=p的最大j。

当p=0时这样的j不存在，所以等差数列一直延续到序列的最后。

当p>0时j为满足k/j>=p的最大j，即j<=k/p。

注意：当i>k时k mod i = k。即i>k的部分之和为k*(n-k)。

代码：

#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll; 
ll ans,n,k;
void f(){
	ll i=2,p,t,d,nn;
	ans=0;
	while(i<k){
		if(i>n)
			break;
		p=k/i;
		t=k%i;
		d=k/p;
		//printf("i:%d p:%d t:%d d:%d ",i,p,t,d);
		nn=min(d,n)-i+1;
		ans+=nn*t+((k%(i+1)-t)*(nn-1)*nn)/2;
		//printf("%d\n",(d-i+1)*t+(k%(i+1)-t)*(d-i));
		i=min(d,n)+1;
	}
	if(n>k){
		ans+=k*(n-k);
	}
}
int main(){
	while(cin>>n>>k){
		f();
		cout<<ans<<endl;
	}
	return 0;
}