小车模型——麦克纳姆轮

移动底盘麦克纳姆轮的运动学与动力学解析

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一、麦克纳姆轮的结构与运动原理

麦克纳姆轮（Mecanum Wheel）由轮毂和围绕轮毂的辊子组成，辊子轴线与轮毂轴线成45°夹角。这种设计使得每个辊子可沿母线自由滑动，当轮子旋转时，辊子的包络面形成圆柱形，从而允许底盘实现全向移动（如平移、旋转及斜向运动）。
核心特点：

• 互为镜像的轮对：A轮和B轮分别以不同方向旋转，产生互补的横向分速度，实现灵活运动。
• 被动辊子：辊子无动力，但通过其倾斜角度将轮毂旋转分解为轴向与横向速度分量。

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二、运动学分析

运动学模型描述了底盘运动与轮子转速之间的关系，分为正运动学（从轮速推导底盘速度）和逆运动学（从底盘速度推导轮速）。

1. 逆运动学模型

目标：根据底盘速度 $([{\dot{x}}_r,{\dot{y}}_r,\dot{\varphi }{]}^T)$（X轴平动、Y轴平动、绕几何中心自转角速度），计算四个轮子的角速度 $([{\dot{\theta }}_1,{\dot{\theta }}_2,{\dot{\theta }}_3,{\dot{\theta }}_4{]}^T)$。
推导步骤：

1. 底盘运动分解：刚体运动可分解为三个独立分量：
   $$\{\begin{array}{l}{\dot{x}}_r=\text{X轴平动速度}\\ {\dot{y}}_r=\text{Y轴平动速度}\\ \dot{\varphi }=\text{自转角速度}\end{array}$$[[3]][[5]]
2. 轮轴速度计算：每个轮轴中心速度由底盘运动叠加自转产生的切向速度。例如，轮1的轴心速度：
   $$\{\begin{array}{l}{V}_{w,1,x}={\dot{x}}_r-l_b\dot{\varphi }\\ V_{w,1,y}={\dot{y}}_r+l_a\dot{\varphi }\end{array}$$
   其中 $(l_a,l_b)$ 为底盘半长和半宽。
3. 辊子速度投影：仅辊子方向的速度分量对轮速有贡献。设辊子方向单位向量为 $(u)$，则轮速与辊子速度关系为：
   $${\dot{\theta }}_i=\frac{\text{辊子速度}}{R}=\frac{V_{w,i}\cdot u}{R}$$
   其中 $(R)$ 为轮半径。
4. 矩阵形式逆运动学方程：
   $$\left[\begin{array}{c}{\dot{\theta }}_1\\ {\dot{\theta }}_2\\ {\dot{\theta }}_3\\ {\dot{\theta }}_4\end{array}\right]=\frac{1}{R}\left[\begin{array}{ccc}1& -1& -(l_a+l_b)\\ 1& 1& (l_a+l_b)\\ 1& 1& -(l_a+l_b)\\ 1& -1& (l_a+l_b)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\dot{x}}_r\\ {\dot{y}}_r\\ \dot{\varphi }\end{array}\right]$$[[3]][[4]]

2. 正运动学模型

通过逆运动学矩阵的伪逆矩阵 $(J^{+})$ 计算底盘速度：
$$\left[\begin{array}{c}{\dot{x}}_r\\ {\dot{y}}_r\\ \dot{\varphi }\end{array}\right]=\frac{R}{4}\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ -1& 1& 1& -1\\ -\frac{1}{l_a+l_b}& \frac{1}{l_a+l_b}& -\frac{1}{l_a+l_b}& \frac{1}{l_a+l_b}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\dot{\theta }}_1\\ {\dot{\theta }}_2\\ {\dot{\theta }}_3\\ {\dot{\theta }}_4\end{array}\right]$$[[3]][[4]]

3. 特殊情况下的运动分析

• 纯X轴平移：所有轮子同向旋转，辊子方向速度分量叠加为平移速度。
• 纯Y轴平移：轮子对称反向旋转，产生横向合力。
• 纯自转：对角线轮子反向旋转，形成旋转力矩。

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三、动力学分析

动力学模型用于计算底盘运动所需的电机扭矩，考虑摩擦力、质量分布等因素。

1. 牛顿第二定律与力平衡

沿特定方向（如Y轴）的动力学方程：
$$\sum F_y=m{a}_y=F_{\text{牵引力}}-F_{\text{滚动摩擦}}$$
其中：

• 牵引力：由电机扭矩产生，与轮速成正比。
• 滚动摩擦力：与轮子接触面的法向力 $(N)$ 和摩擦系数 $(k)$ 相关：
  $$F_{\text{摩擦}}=kN=k\left(\frac{mg}{4}\right)$$

2. 电机扭矩计算

单个电机的扭矩 $(T_i)$ 与牵引力关系为：
$$T_i=F_{\text{牵引力},i}\cdot R$$
结合运动学模型，广义动力学方程可表示为：
$$\left[\begin{array}{c}{T}_1\\ T_2\\ T_3\\ T_4\end{array}\right]=\frac{1}{R}{\left[\begin{array}{ccc}1& -1& -(l_a+l_b)\\ 1& 1& (l_a+l_b)\\ 1& 1& -(l_a+l_b)\\ 1& -1& (l_a+l_b)\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{c}m{\dot{v}}_x+k_1{v}_x\\ m{\dot{v}}_y+k_2{v}_y\\ I\dot{\omega }+k_3\omega \end{array}\right]$$
其中 $(k_1,k_2,k_3)$ 为摩擦系数，$(I)$ 为转动惯量4。

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四、应用与挑战

1. 应用场景：
   • 工业AGV、服务机器人：灵活避障与精准定位。
   • 无人机/无人车：复杂地形下的全向移动。
2. 挑战：
   • 动力学复杂性：需考虑轮间耦合、摩擦非线性等问题。
   • 控制精度：依赖高精度电机与实时反馈系统。

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五、总结

麦克纳姆轮通过辊子的45°倾斜设计实现了全向移动，其运动学模型基于线性分解与矩阵运算，动力学模型则需平衡牵引力与摩擦力。实际应用中需结合参数标定（如轮半径 $(R)$、底盘尺寸 $(l_a,l_b)$）和控制算法优化，以克服动力学非线性带来的挑战。