[NOIP模拟][欧拉函数]切蛋糕

最新推荐文章于 2021-04-28 20:27:01 发布

qianguch

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分类专栏： # NOIP # 数学问题文章标签： NOIP 欧拉函数

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博客介绍了NOIP模拟赛中的一道题目——切蛋糕，要求根据蛋糕的约数来切分，使得所有约数的人都能拿到连续的蛋糕部分。通过分析，博主提出可以使用欧拉函数来求解0到n范围内与n互质的数的数量，从而得出切了多少刀。提供了相关数据范围和样例，并给出了欧拉函数的百度百科链接，以及解决问题的代码片段。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述：
这里写图片描述
样例输入1:
6
样例输出1:
4
样例输入2:
15
样例输出2:
7
数据说明：
对于30%的数据：2≤n≤15;
对于50%的数据：2≤n≤1,000;
对于70%的数据：2≤n≤1,000,000;
对于100%的数据：2≤n≤1,000,000,000;
题目分析:
1、对于n,它的每个质因数以及质因数的倍数（小于n）都会被切一刀，这样才能满足来了任意n的约数的人数们都可以连续均分。需要统计切了多少刀，如果直接统计质因数的倍数（小于n）的个数，会涉及到一些数会被重复计算，处理麻烦。
2、上述个数其实就是0到n范围内与n不互质的数的个数。
3、而0到n范围内与n互质的数的个数可以用欧拉函数求。最后用n减去就得到答案。
不知道欧拉函数者，百度链接：http://baike.baidu.com/link?url=l4eSSUc6tKIvRNI4i_WPEmCWHBrRQOPAd3hf6GoborJSpUQS4giBrb4VE8Zs6qi1145NT-irFs1YmNoC4z_zgYXuYAqw06aFn8QXxa7U-5RSfoMgOA7x993p62hzLogz
附代码:

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string>
#include<ctime>
#include<queue>
#include<iomanip>
#include<cctype>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<set>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;

int n,ans;

void find()//求与n互质的数的个数，记为ans 
{
    int m=n;ans=n;
    for(int i=2;i*i<=n;i++)//相当于是质因数分解 
        if(m%i==0) 
        {
            ans=ans-ans/i;//欧拉函数计算 
            while(m%i==0) m=m/i;//对于i,除到不能除为止，这样m便不再是i的倍数，且下一个枚举到的数就必定是质数 
        }
    if(m>1) ans=ans-ans/m;//因为只计算到根号n，如果剩下的m还大于1，则必为一个质数，需再计算一次； 
}                       //因为如果m还能分解成两个质数，而且这两个质数都大于根号n，则乘积大于n，即m>n,矛盾 

int main()
{
    //freopen("cake.in","r",stdin);
    //freopen("cake.out","w",stdout);

    scanf("%d",&n);
    find();
    printf("%d",n-ans);

    return 0;
}