绝望的乐园

PCA（Principal Component Analysis）是一种矩阵压缩的算法，在数据分析和机器学习等很多方向都有着应用。这篇文章的主要目的是将这个算法的原理讲的简单易懂，网上很多讲PCA的文章，但是大部分讲的并不够朴素，用了很多公式，很多图解和专有名词，但是在我看来，这些东西并不一定能降低理解这个算法的门槛。所以，这篇文章可能不会有特别严谨的数学推导，我会尽量使用符合人类直观理解的方式来...

特征值与特征向量是线性代数中一个很基础的知识，但是很多人对这两个概念没有一个直观的概念，从直觉上，很难理解这两个东西，只知道公式，但是不知道它代表的意义。当年上现代课的时候，老师根本不会去讲这些东西，只是把公式写出来，各种推导，看的人头疼，最后索性也不去理解了，直接背下来，现在想想，体验实在糟糕，我写这篇文章希望能够帮到对这两个概念有疑惑的小伙伴。当然，为了理解特征值与特征向量，首先要对线性代数...

题意：求[1,N]中与N的最大公约数大于等于M的数的个数。思路：直接算肯定是不行的。可以枚举下N的因子，那么将在区间[M,N]中的因子X，求所有N/X的欧拉函数的和即为所求。代码：#include#include#include#include#include#include#include#include#include#include#include#defi

题意：求F(x) = (1+x)^a1 + (1+x)^a2 + ... + (1+x)^am.中系数为奇数的项的个数。思路：由Lucas定理可知，(1+x)^n中奇数项的个数等于2^(n的二进制表示中1的个数)。Lucas定理相关证明可以看这里。然后就是利用容斥原理，把重复的减去，两项相交的结果中奇数项的个数为2^(a[i]&a[j]的二进制表示中1的个数)。需要注意的是，由于偶数个奇数项在

题意：

题意：求给定颜色数组成的不等价的

题意：要构成一个长度为n

题意：求C(n,0),C(n,1),C(n,2)……C(n,n)中奇数的个数。思路：Lucas定理的一个推论，把C(n,m)看做用二进制表示，那么为奇数的条件是n的每一位都大于等于m的对应位，因此答案是2^(n的二进制表示中1的个数)。代码：#include#include#include#include#include#include#include#include#

题意：

题意：给出n对不同颜色的鞋子，

题意：将n个数的

题意：把不超过m个物品放到n个位置，有多少种方法。思路：利用插板法可以求出把m个物品放到n个位置的方案数为C(n+m-1,m)，不超过m个可以想象成再添加一个位置放那些没有放到n个位置的物品，即C(n+m,m)。剩下的利用Lucas定理就可以求解。代码：#include#include#include#include#include#include#include#inc

题意：n个数在一行，有两种操作，一种是求区间[L,R]的数字中与p互质的数的和，另一种是修改某个位置的数。思路：求区间与p互质的数可以转化为总和-不互质的的数的和，这样就可以通过容斥原理求解。至于修改，由于修改次数比较小，把修改存起来，对于每个查询，一个个改过去。代码：#include#include#include#include#include#include#incl

题意：在[1,c]和[1,d]中分别选两个数x,y，求gcd(x,y)==k的数的对数，其中(x,y)与(y,x)为同一种方案。思路：假设c代码：#include#include#include#include#include#include#include#include#include#include#include#define inf 0x3f3f

贝叶斯定理是一个很经典的定理，虽然公式很简单，套用起来也很方便，但是还是缺乏一个直观的sense， 似乎很有道理却说不出来，这是一件很难受的事情，今天打算好好聊一聊贝叶斯定理，看看是否可以建立一个直观的感觉。其实，画图是一个很好理解数学公式的方法，如果各种公式都能变成一个简单的图像存在人的大脑里，那数学学起来应该会轻松很多。既有数字能够入微的计算细节，又有图像能让人把握方向，就很完美了。所以，...

题意：给定n个数，可以取走一些数，使得

题意：给N×N的正方形格子填

题意：用3种颜色给正n边形涂色，问有多少不等价的方案，如

题意：

题意：给出n个数，有m个操作，每个

题意：给出一个m×n的网格点中能组成的三角形的个数。思路：直接算很难入手，可以发现任意三个点可以组成一个三角形当且仅当三点不共线，因此可以用总的方案数-三点共线的方案数。三点形成的直线是水平或者垂直的很好算。主要问题是不共线的方案的计数，受之前做的UVALive 3295  Counting Triangles的启发，用dp[i][j]表示以(0,0)为左上角，(i,j)为右下角的矩形中三点共

题意：n行m列的点阵，问有多少非垂直并且非水平的直线至少穿过点阵中的两个点。思路：第一眼看的时候感觉和一道平面坐标中能看到点的题挺像的，于是按着那题的思路推了个用欧拉公式算的。写完以后发现不对，欧拉公式推的并不能包含所有情况，而且会有重复统计的问题。换个思路，想到了用几个矩阵组合出答案的方法，首先只考虑一个方向的直线(如斜率小于0的)，则a[i][j]=a[i-1][j]+a[i][j-1]-

题意：给出

题意：给出一个置换B，问有没有一个置换A，使得A^2=B。思路：

题意：有n个人，每个人从1~m选一个数，但是相邻的人如果选了一样的数，那么这个数要大于k，问所有的选法。思路：首先用dp[i][j]表示前i个人，第i个人选了第j个数字，那么dp[i][j]=sigma(j=1 to m){dp[i-1][j]} -dp[i-1][j]  (jdp[i][j]=sigma(j=1 to m){dp[i-1][j]}(j>k)则前i个人总共的选法为s

题意：给出p，q，n，其中p=a+b，q=ab，求a^n+b^n。思路：只要推出递推公式就简单了，比较恶心的是数据不知道怎么出的，判断p、q都为0就break掉会wa，用scanf也wa……下面是推导过程：(a^n+b^n)*(a+b)=a^(n+1)+b^(n+1)+ab^n+ba^na^(n+1)+b^(n+1)=p*(a^n+b^n)-ab(a^(n-1)+b^(n-1))设

题意：给出一个递推式，求前n项和。思路：矩阵上加一维表示前n项的和，接下来递推式都给出了就十分好写了。。代码：#include #include#include#include#include#include#include#include#include#include#define inf 0x3f3f3f3f#define Inf 0x3FFFFFF

题意：求长度为1~N的项链，用必须用k种珍珠组成的方案数。思路：首先可以想想dp，可以推出dp方程，用dp[i][j]表示长度为i的项链用j种珍珠的方案数。则dp[i][j]=dp[i-1][j]*j+dp[i-1][j-1]*(k-j+1)，由于N非常大，因此直接dp是不现实的，因此我们想到了用矩阵乘法加速运算，矩阵A的元素分别是长度为n时用j种的方案数，因此要求的就为A+A^2+A

题意：n个灯泡连成一个圈，每过1秒，如果第i个灯泡的左边的灯泡亮着，那么翻转第i个灯泡的亮暗。思路：把当前灯泡的和其左边亮暗情况都列出来，可以发现其下一秒的状态为两数之和对2取模，知道这个就简单了，直接构造矩阵算就行了，不知道为什么我写的矩阵乘法非常慢Orz……代码：#include #include#include#include#include#include#incl

题意：定义Fi为fibonacci数列的第i项，定义Ai(k)=Fi×i^k(i>=1)，求sigma(j=1 to n){Aj(k)}。思路：终于把这道题A了，好开心，矩阵乘法什么的好神奇。。。首先推导一下Ai(k)，可以得到：Ai(k) = Fi * i^k         = ( Fi-1 + Fi-2 ) * i^k         = Fi-1 * [ (i-1) + 1

题意：有长度为L的队，每个位置不是男的就是女的，用01表示，问有多少种排列方式不包含000和010这两种状态。思路：最开始是想dp的，dp[i][j]表示前i个人以状态j为结尾的满足条件的排列方式，但是写完以后MLE……无语。。。只好写矩阵乘法，受到dp的启发，我们可以想到这么构造矩阵，当前位置分别以状态00,01，10,11结尾，再添加一个字符会转移到下一个状态，如果转移是合法的，那么对应位

题意：给出矩阵A，求A+A^2+A^3+……+A^k。思路：快速幂可以算出A^k。然后看和的长度，如果为偶数，那么结果为A^(k/2)*A(k/2)，否则为A^(k-1)+A^k。代码：#include#include#include#include#include#include#include#include#include#include#include#d

主要是推公式，表示公式完全推不出来啊= =，看了解题报告才会。。。首先(sqrt(2)+sqrt(3))^2=5+2*sqrt(6)(sqrt(2)+sqrt(3))^2n=(5+2*sqrt(6))^n设(5+2*sqrt(6))^n=An+Bn*sqrt(6)   ①则(5-2*sqrt(6))^n=An-Bn*sqrt(6)   ②由①②得，(5+2*sqrt(6))^n

题意：求满足1+2+3+……+(n-1)=(n+1)+(n+2)+……+m的前10项n和m。思路：把公式化简一下，n(n-1)/2=(m-n)(m+n+1)/2，然后可以求出2n^2=m^2+m，给m配方可以得到(2m+1)^2-8n^2=1。设x=2m+1,y=n，这样就变成了x^2-dy^2=1的形式，显然这是个pell 方程。利用迭代公式就可以求解了:Xn=Xn-1 * X1 +dY

题意：S个士兵排成r行c列，其中队列中间有两个方队是空出来的，并且这两个方队大小相等，而且方队到四个方向外面的厚度都相同，求所有空出来的方队的情况。思路：在纸上画一画就可以发现S可以写成这样的形式S=6*i*i+7*i*j。这样枚举i就行了。代码：#include#include#include#include#include#include#include

首先满足要求的解要满足gcd(a1,a2,a3……an,M)=1，也就是求n个小于等于M的数与M的最大公约数的结果为1的组合的个数。找出M的所有质因子，通过容斥原理计算组合总数，所有的组合数为M^N，现在要减去所有组合的结果与M求最大公约数不为1的个数，这样的组合数必须N个数只要含有M的一个质因子，枚举质因子的组合情况，利用容斥原理，奇数个质因子减去，偶数个质因子加上。。。就能得到结果了。还有一点

题意：一个人玩飞行棋，每次走掷的骰子点数歩，地图上有些地方可以直接传送，问期望的掷骰子次数。思路：直接搞就行，没什么坑，遇到有传送的位置直接传就行，刚开始没看到X代码：#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")#include#include#include#include#include#include#i

题意：询问区间[L,R]内中的二进制数0>=1的数的个数。思路：网上很多都直接推导一下就算出来了。。。。我只会用数位dp搞一下，再计数Orz……觉得自己数学思维实在太差了、、、、dp[i][j][k]表示当前在第i位，前面的有j个0，有k个1的合法的数有多少个。当前面有1的时候，可以算一下至少需要多少个0才能满足要求，比如现在有n位，至少需要m个0，那么结果就为 Σ{i=m to n}（C[n

题意：[1,i]表示从1到i的数列出来的数列，比如[1,3]是123。现在将[1,i]按顺序列出来，问第n位的数字是什么。思路：我直接模拟的？大概就是把[1,i]作为一组，然后不断减去这一组的长度。然后找到n是在哪个[1,i]中，然后再去里面找。。。看了看网上的代码，貌似没有我这么简单粗暴的，一般都弄了些预处理，还有二分的。。。代码：#include#include#inc

题意：求和m互质的第k个数是多少。思路：假设我们要求的数是n，那么如何求n之前有多少个数和m互质呢？这个问题直接算不好算，根据减法原理，我们可以求出和m不互质的数，然后用n减去，就可以得到和n互质的数的个数了。假设和m的质因子分别为q1,q2,q3……那么能整除q1的数就有n/q1个，能整除q2的数有n/q2个……将这些数加起来，但是会有重复的，比如能被q1和q2同时整除的被加了两次，这部分要